2018-02-12
179МАТЕМАТИКА
ИРЭ (ЭТФ), Эр–1 
7, Эл-16, 3 семестр, 34, 2017/2018 уч. год
Лекторы: доц. Косиченко Н.А., доц. Ратникова Т.А.
Экзаменационная программа
1. Двойной интеграл в декартовых и в полярных координатах. Сведение к повторным интегралам
2. Тройной интеграл в декартовых, цилиндрических и в сферических координатах.
3. Замена переменных в двойных и тройных интегралах (без доказательства). Якобиан и его геометрический смысл.
4. Вычисление площадей, объемов, приложения кратных интегралов в механике.
5. Поверхностные интегралы первого рода.
6. Векторное поле, векторные линии.Поток векторного поля через незамкнутую и замкнутую поверхность (по определению и по формуле Остроградского-Гаусса).
7. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл.
8. Криволинейные интегралы второго рода.
9. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура.
10. Теорема Стокса.Формула Грина.
11. Специальные виды полей (соленоидальное и потенциальное поля).
12. Ротор векторного поля и его физический смысл. Потенциальное поле, условия потенциальности.Условие соленоидальности поля.
|
|
|
13. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
14. Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Различные формы представления комплексного числа. Комплексно сопряжённые числа. Действия над комплексными числами.
15. Понятие функции комплексного переменного. Предел, непрерывность.
16. Производная функции комплексного переменного.Теорема о дифференцируемости ФКП. Условия Коши–Римана. Формулы для производной ФКП.
17. Основные функции комплексного переменного: 
, их свойства: однозначность, непрерывность, дифференцируемость, периодичность.
18. Аналитическая функция и ее свойства. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.
19. Разложение функций в ряд Тейлора.
20. Единственность разложения функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора основных аналитических функций.
21. Функция-оригинал и ее изображение по Лапласу.Свойства оригиналов и изображений.
22. Свойства оригиналов и изображений: линейность, теорема подобия, теоремы о дифференцировании оригинала, о дифференцировании изображения, теорема запаздывания, теорема смещения.
23. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами.
24. Задача Штурма–Лиувилля, свойства собственных значений и собственных функций.
25. Уравнения математической физики. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.
|
|
|
26. Метод разделения переменных.
27. Решение краевых задач для уравнения теплопроводности методом разделения переменных.
28. Решение уравнения Лапласа в круге.
29. Основы комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки).
30. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности.
31. Алгебра событий. Теоремы умножения и сложения вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
32. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Простейший поток событий.
33. Законы распределения дискретных случайных величин.
34. Законы распределения и числовые характеристики непрерывных случайных величин.
35. Нормальный закон распределения случайных величин. Центральная предельная теорема. Неравенство Чебышева.
Перечень задач к экзамену:
1. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: 
.
2. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
3. Изобразить область интегрирования и изменить порядок интегрирования 
.
4. Для скалярного поля 
и векторного поля 
найти:
; 
, если 
.
5. Проверить потенциальность и соленоидальность поля
.
6. Вычислить циркуляцию векторного поля 
вдоль замкнутого контура L, лежащего в плоскости x0y (обход против часовой стрелки), 
.
7. Найти циркуляцию векторного поля 
вдоль контура L:
8. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя) с помощью формулы Остроградского 
.
9. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя): 
10. По изображению найти оригинал: 
11. Решить операционным методом задачу Коши для дифференциального уравнения, сделать проверку: 
.
12. Решить задачу Дирихле в круге радиуса R для уравнения Лапласа
13. Решить задачу и сделать проверку 
.
14. При каком значении параметра 
функция 
является функцией плотности вероятности некоторой случайной величины? Каковы математическое ожидание и дисперсия этой величины?
15. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеет вид:
Ϝξ = 
Найти: a, Ϝξ(x), P(ξ 
(-1,6))
