Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

краткая теория к работам

1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11,1.12, 1.14

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся по концентрическим окружностям (рис. Т.1), центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения ОО. Как видно из рисунка, при вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его точки (например, точки А и В), движутся по-разному: за один и тот же промежуток времени Dt они проходят разные пути DS (

). Это значит, что модули их линейных скоростей

и ускорения

различны.

Движение же тела как целого можно характеризовать только такими величинами, которые в данный момент времени для всех его точек одинаковы. Поэтому вращательное движение твердого тела характеризуют не линейными, а угло-выми величинами: углом поворота , угловой скоростью и угловым ускорением .

Если, вращаясь равномерно, за проме-жуток времени тело повернулось на угол , то модуль его угловой скорости w

Рис. Т.1 определится соотношением

, (Т.1)

из которого следует, что угловая скорость численно равна углу, на который тело поворачивается за единицу времени (за одну секунду, одну минуту и т. д.). Если тело вращается неравномерно, то по формуле (Т.1) находят его среднюю угловую скорость.

В тех случаях, когда известна зависимость угла поворота от времени, то есть функция , можно найти мгновенную угловую скорость как производную от угла поворота по времени

. (Т.2)

Если тело вращается с постоянным угловым ускорением, то модуль его углового ускорения определяется соотношением

, (Т.3)

из которого видно, что угловое ускорение численно равно изменению угловой скорости в единицу времени. В случае произвольного движения по формуле (Т.3) находят среднее угловое ускорение. Мгновенное угловое ускорение можно найти как производную от угловой скорости по времени, если известна функция ,

(Т.4)

Модули угловых величин, характеризующих враща-тельное движение тела как целого, и модули линейных величин, характеризующих движение отдельных его точек, связаны между собой соотношениями

, , , (Т.5)

где R – радиусы окружностей, по которым движутся точки.

Угол поворота, угловая скорость и угловое ускоре-ние – величины векторные (точнее, они являются псев-довекторами, так как связаны с направлением вращения тела условно). Векторы и направлены вдоль оси вращения и связаны с направлением вращения правилом правого винта (рис. Т.2), а вектор направлен так же, как вектор , если вращение ускоренное, и противопо- Рис. Т.2

ложно вектору ,если движение замедленное. Итак, если движение происходит вокруг неподвижной оси, все перечисленные величины направлены вдоль одной прямой.

В разделе ²Динамика вращательного движения² наряду с понятиями силы и массы вводятся понятия момента силы и момента инерции.

Момент силы. Покажем, что для характеристики вращательного дви-жения понятия силы недостаточно. Пусть к коромыслу (рис.Т.3) слева от оси вращения О на расстоянии 0,2 м приложена сила 2 Н, которая стремится повернуть его против часовой стрелки. Опыт говорит о том, что уравновесить коромысло мо-жно несколькими способами. Например, можно справа от оси на расстоянии 0,4 м

приложить силу 1 Н (рис. Т.3а),

а можно приложить силу 4 Н, но на расстоянии 0,1 м от оси вращения (рис. Т.3б).

Таким образом, вращаю-щий эффект силы зависит от расстояния (от оси враще-ния до линии действия силы)

Рис. Т.3 не в меньшей степени, чем от

самой силы.

Величина, характеризующая вращающий эффект силы, называется моментом силы. Различают момент силы относительно точки и момент силы относительно оси.

Момент силы относительно точки характеризует способность силы вращать тело вокруг точки, относительно которой он берется. Пусть на частицу А действует сила (рис. Т.4). Моментом силы относительно точки О называется вектор , определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы (радиуса-вектора проведенного из точки О в точку приложения силы А), и силы:

. (Т.6)

Из формулы (Т.6) следует, что вектор

Рис. Т.4 направлен перпендикулярно плоскости, в ко-

торой лежат векторы и , причем так, что направление вектора совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вра-щении от первого вектора ко второму в сторону меньшего угла. На рис. Т.4 векторы и лежат в плоскости рисунка, а вектор , направлен перпен-дикулярно плоскости рисунка, то есть на нас (изображен точкой в кружочке).

Из формулы (Т.6) также следует, что модуль момента силы М равен:

(Т.7)

где – плечо силы относительно точки О (плечом силы называется длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила), – угол между векторами и .

Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг данной оси. Пусть к телу, закрепленному на оси ОО (рис. Т.5)в точке А приложена сила

а б

Рис. Т.5

Эту силу можно разложить на две составляющие (рис. Т.5а): – парал-лельную оси, и – лежащую в плоскости, перпендикулярной оси. Очевидно, что сила не может вызвать вращения тела вокруг оси ОО. Вращение тела вокруг оси ОО может вызвать только сила .

Таким образом, момент какой угодно силы относительно неподвижной оси сводится к моменту составляющей этой силы, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси.

На рис. Т.5б изображено сечение тела, перпендикулярное оси ОО, в котором и лежит сила . Сравнив рис. Т.5б с рис. Т.4, видим, что они аналогичны. Это значит, что вектор момента силы относительно точки О (точки пересечения оси с плоскостью, в которой лежит вектор ) может быть определен по формуле (Т.6), согласно которой он направлен вдоль оси вращения (направления указаны на рисунке), а его модуль определяется по (Т.7), то есть он равен произведению силы на ее плечо .

В дальнейшем мы будем иметь дело только с моментом силы относительно неподвижной оси и, соответственно, будем рассматривать только силы, перпендикулярные к оси. В этом случае модуль момента силы определяется как произведение силы на ее плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы), а направление – по правилу правого винта.

Заметим, что момент силы относительно оси – величина алгебраическая. Момент считается положительным, если его направление совпадает с направлением оси, выбранным за положительное, и отрицательным – в противном случае.

Момент инерции. Мы знаем, что тела обладают инертностью (или инерцией). Инертность – это способность тела сохранять свою скорость. При поступательном движении мерой инертности тела является его масса. Это значит, чем больше масса тела, тем больше его инертность, то есть тем труднее изменить его скорость. Так груженный вагон труднее сдвинуть с места и труднее остановить (если он движется), чем пустой.

При вращательном движении инертность тела зависит не только от его массы. Поясним это на следующем примере. Пусть имеется система, состоящая из жесткого невесомого стержня и достаточно тяжелых грузов массы m (рис. Т.6).

Сначала закрепим грузы на концах стержня (рис. Т.6а), и взявшись руками вблизи его центра масс, начнем раскручивать. Это достаточно трудно, если стержень длинный, а грузы тяжелые. Но если грузы переместить ближе к середине стержня (рис. Т.6б), то раскручивать его станет много легче (руки должны оставаться на прежнем месте). При перемещении грузов масса системы осталась прежней, а ее инертность изменилась. Следовательно, инертность тела или системы тел зависит не только от массы, но и от расположения массы относительно оси вращения.

Рис. Т.6

Величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении называется моментом инерции тела. Момент инерции материальной точкиотносительно некоторой оси вращения равен произведению массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси вращения :

. (Т.8)

Момент инерции тела (или системы материальных точек) относительно оси вращения равен сумме моментов инерции его точек, то есть

, (Т.9)

в случае непрерывного распределения массы тела суммирование сводится к интегрированию по объему тела V

, (Т.10)

где масса элементарного объема тела, все точки которого одинаково удалены от оси вращения.

Формула (Т.10) позволяет сравнительно просто рассчитать момент инерции только в случае однородного тела правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через его центр масс. Но если известен момент инерции тела относительно какой-либо оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой другой, параллельной ей оси, легко рассчитывается по теореме Штейнера:

, (Т.11)

где I – момент инерции тела относительно произвольной оси, – момент инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, – масса тела, – расстояние от оси вращения до центра масс тела.

В случае сложной формы тела, когда теоретически трудно рассчитать момент инерции, прибегают к экспериментальным методам.

Итак, для описания вращательного движения вводятся величины анало-гичные тем, которыми характеризуют поступательное движение: момент силы аналогичен силе (при вращательном движении он играет ту же роль, что сила при поступательном), момент инерции аналогичен массе (при вращательном движении он играет ту же роль, что масса при поступа-тельном).

Известно, что между аналогичными величинами существуют аналогичные соотношения. Поэтому, зная соотношения, установленные для поступа-тельного движения, мы всегда можем записать соотношения, характери-зующие вращательное движение.

Например, мы знаем, что основной закон динамики (II закон Ньютона) имеет вид:

, (Т.12)

где – результирующая сила, действующая на тело, – масса тела, – ускорение, полученное телом.

Основной закон динамики вращательного движения (II закон Ньютона для вращательного движения) записываем по аналогии

, (Т.13)

где – результирующий момент сил, действующий на тело, I – момент инерции тела, – угловое ускорение, полученное телом.

Используя формулу (Т.4), можно переписать (Т.13) в виде

. (Т.14)

Введя обозначение

, (Т.15)

основному закону динамики вращательного движения (Т.13) можно придать другой вид

, (Т.16)

где – момент импульса, или кинетический момент твердого тела. Эта величина аналогична импульсу точки .

Уравнение (Т.16), называемое также уравнением моментов, аналогично II закону Ньютона, представленному в виде .

Из уравнения (Т. 16) следует, что в тех случаях, когда результирующий момент сил , действующий на тело (или систему тел), равен нулю (система тел замкнута),

, и . (Т.17)

Равенство (Т.17) представляет собой закон сохранения момента импульса и читается так: момент импульса замкнутой системы не изменяется.

Представим аналогию величин и соотношений, характеризующих поступательное и вращательное движения, в виде таблицы

Поступательное движение		Вращательное движение
Перемещение		Угол поворота
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Уравнение равномер-ного движения		Уравнение равномер-ного вращения
Уравнения равнопеременного движения		Уравнения равнопеременного вращения
Масса		Момент инерции
Сила		Момент силы: 1) относительно точки, 2) относительно оси
Основное закон динамики точки		Основной закон динамики вращатель-ного движения
Импульс точки Момент импульса точки		Момент импульса твердого тела
Работа силы		Работа момента силы
Кинетическая энергия точки		Кинетическая энергия вращатель- Ного движения