2018-02-14
158
Рассмотрим знакоположительный числовой ряд 
, где 
.Последовательность частичных сумм такого ряда будет всегда возрастающей:
На 1 курсе была доказана теорема о том, что: монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху имеет конечный предел.
- число.
Для знакоположительного ряда достаточно доказать, что, последовательность частичных сумм 
ограничена сверху числом (возрастание и так есть).
1й признак сравнения
Дано 2 ряда с положительными членами 
(1) и 
(2) и начиная с некоторого номера N выполняется неравенство 
, тогда если (2) сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).
Доказательство: Обозначим через 
- n – частичная сумма 1 ряда и 
- n – частичная сумма 2 ряда.
Т.к 
. Пусть 2 ряд сходится, тогда 
, причём 
ограничена сверху числом 
(1) сходится.
Пусть 1 ряд расходится 
, т.к 
расходится.
Конец доказательство.
Замечание: при доказательстве этого признака мы считали, что неравенство выполняется с 1 номера. Этот факт не влияет на сходимость, т.к по свойству рядов отбрасывание n – первых членов ряда на сходимость ряда не влияет.
|
|
|
Для сравнения необходим стандартный набор рядов, о сходимости всё известно. К таким рядам относятся:
| Ряды для сравнения: | |
Ряды членов геометрической прогрессии:
| Обобщенно гармонический ряд:
(строгое доказательство будет проведено после интегрального признака сходимости)
|
Примеры:
1) 
2) 
3) 
