II признак сравнения (предельный)

Дано 2 ряда с положительными членами (1) и (2) и - число (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство:

- число по определению предела последовательности:

с которого

 

Пусть (2) сходится, тогда сходится и

Из правой части  следует, что (1) ряд меньше сходящегося ряда по 1 признаку сравнения (1) сходится

Пусть (2) расходится выберем настолько малым, чтобы  оставалось >0, для знакоположительности ряда  - расходится. Из левой части (*)  (1) ряд>ряда расходящегося по I признаку сравнения (1) ряд расходится.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Признак сходимости Даламбера

Дан ряд с положительными членами и

Если  - сходиться

Если  - расходиться

Если  - вопрос о сходимости не решен.

 

Доказательство:

, начиная с которого

                                     

1) Пусть D<1 выберем настолько малым, чтобы

обозначим

рассмотрим правую часть

Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии , т.к ряд q<1 этот ряд сходится.

Т.к исходный ряд меньше сходящегося ряда из членов меньшего ряда то исходный ряд сходится по I признаку сравнения.

2) Пусть D>1 выберем настолько малым, чтобы >1 <(D- )

из левой части >

следовательно члены ряда растут не стремится к 0 , ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

3) D=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда   – расходится и - сходится.

Для     D=

Для    D=

При D=1 ряд может сходится или расходится и вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)