2018-02-14
242
Для поиска экстремума функции многих переменных применяется ряд методов, среди которых отметим:
метод покоординатной оптимизации; метод Бокса − Уилсона; последовательный симплексный метод.
Метод покоординатной оптимизации Метод покоординатной оптимизации, называемый также методом Гаусса–Зейделя, сводит многомерную оптимизацию к последовательному применению одномерной к сечениям функции. Для этого фиксируют значения всех переменных, кроме одной, к которой применяется один из методов одномерной оптимизации. Затем начинают поиск по второй переменной, фиксируя первую на значении, обеспечившем экстремум, и т. д. После того как список переменных исчерпался, возвращаются к первой переменной, и так до тех пор, пока значение отклика возрастает (убывает). Метод отличается простотой, однако для функций овражистого типа, для которых линии равного уровня сильно вытянуты в направлении, не параллельном осям координат, поиск может продолжаться довольно долго. Метод Бокса−Уилсона На основе малой серии опытов строится линейное описание поверхности отклика в окрестности начальной точки. В центре этой локальной области определяется значение градиента, после чего начинаются опыты в направлении градиента. Бокс и Уилсон предложили использовать дробные факторные планы для поиска линейной модели. Метод состоит из последовательности циклов, каждый из которых содержит два шага.
1. Построение линейной модели в окрестности некоторой начальной точки 
с использованием подходящего факторного плана. Окрестность начальной точки, определяемая интервалами варьирования переменных, должна быть не слишком малой, чтобы можно было выявить линейные эффекты на фоне случайных возмущений, и не настолько большой, чтобы обеспечить адекватность линейного приближения. Соотношение между интервалами варьирования 
по отдельным переменным должно быть таким, чтобы величины коэффициентов регрессии в случае их значимости имели бы одинаковый порядок. В случае адекватности линейной модели 
коэффициенты регрессии 
совпадают с компонентами градиента, т.е. 
, где i, j,…,k – направляющие векторы осей координат. Обычно переходят к нормированному градиенту делением его компонент на норму 
либо просто на 
. Компоненты нормированного градиента обозначим 
.
2. Пошаговое увеличение величины целевой функции (движение в направлении градиента). Координаты точки наблюдения на 
-м шаге при движении в направлении градиента определяются по формуле: 
, где 
≥1 – параметр, позволяющий управлять величиной шага, а следовательно, скоростью движения. Чем ближе исследователь подходит к стационарной области, тем меньше . Движение в направлении градиента продолжается до тех пор, пока возрастают значения выходной переменной. В противном случае вновь реализуют факторный план, находят новое линейное приближение и цикл повторяется снова. Если же модель оказывается неадекватной, то это означает, что исследователь либо достиг стационарной области, либо необходимо линейную модель дополнить взаимодействиями. В стационарной области метод Бокса−Уилсона неработоспособен, здесь необходимо переходить к квадратичным моделям.
Геометрическая интерпретация метода приведена на рис.4. Здесь поверхность отклика задается линиями уровня.
2.
3.
|
4.
|
| |
| |
5. Рис. 4. Схема метода Бокса–Уилсона
6.
Рассмотрим в качестве примера использование метода Бокса−Уилсона для поиска максимума функции
. (6.11)
Допустимая область изменения переменных: 0£ х 1£20, 0£ х 2£10, 1£ х 3£15. Начальная точка поиска х 0= 
=(3,2,4). Линейное приближение будем строить в окрестности начальной точки, задаваемой условиями: 
, i =1,2,3. Значения D i желательно подбирать такими, чтобы приращения функции по каждому из аргументов были сопоставимы, то есть
. Примем D1=1, D2=2, D3=3. В соответствии с (6.1) стандартизованная переменная 
, если 
, и 
при 
.
Линейная модель 
требует для своей оценки не менее четырех экспериментов. Воспользуемся ДФЭ 23-1 с ГС: 
(табл. 16).
7. Таблица 16
| i | х 1ст | х 1 | х 2ст | х 2 | х 3ст | х 3 | y 
|
| 1 | 1 | 4 | 1 | 4 | 1 | 7 | 40,8 |
| 2 | -1 | 2 | 1 | 4 | -1 | 1 | 26,2 |
| 3 | 1 | 4 | -1 | 0 | -1 | 1 | 24,4 |
| 4 | -1 | 2 | -1 | 0 | 1 | 7 | 25,4 |
В последнем столбце табл.16 содержатся значения функции (6.11) для исходных переменных, то есть 40,8= у (4,4,7) и так далее.
МНК-оценки коэффициентов линейной модели составят:
; 
; 
.
Отнормируем полученные компоненты градиента, поделив их на максимальное значение 
: b 1=3,4/4,3=0,79, b 2=1, b 3=0,91. Движение в направлении градиента представлено в табл.17.
Таблица 17
| Формулы для вычисления компонент вектора | Номера компонент вектора | у | ||
| 1-я | 2-я | 3-я | ||
| х 0 | 3 | 2 | 4 | 31,3 |
| Di | 1 | 2 | 3 | |
| bi | 0,79 | 1 | 0,91 | |
| bi´ D i | 0,79 | 2 | 2,73 | |
| x 0+1´ bi´ D i | 3,79 | 4 | 6,73 | 39,9 |
| x 0+2´ bi´ D i | 4,58 | 6 | 9,46 | 46,4 |
| x 0+3´ bi´ D i | 5,37 | 8 | 12,19 | 50,6 |
| x 0+4´ bi´ D i | 6,16 | 10 | 14,91 | 52,6 |
Движение в направлении градиента после четвертого шага невозможно из-за ограничения на х 3. Теперь следует определить градиент в точке x 0+3´ bi´ D i. Поскольку темп роста функции замедлился на последних шагах, область линейного описания следует сузить, уменьшив значения D i.
- Многомерное шкалирование. Неметрический подход.
