Семестровое задание №2

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА КОЛЕБАНИЯ

Задача (рис.3.15).

Два груза D ( кг) и Е ( кг) лежат на гладкой наклонной () плоскости, опираясь на пружину жесткостью с=6Н/см=600Н/м. В некоторый момент времени () груз Е убирают, одновременно нижний конец пружины (точка В) начинает совершать движение по закону м. Найти уравнение движения груза D, приняв за начало отсчета положение покоя, соответствующее статической деформации пружины.

Общий план решения.

1. Указать материальную точку, движение которой изучается.

Исследуем движение груза D.

2. Выбрать систему координат.

- ось х - вдоль наклонной плоскости вверх, ось у - перпендикулярно ей,

- начало координат совместим с положением покоя груза D,

- точка В занимает свое среднее положение ().

3. Указать действующие на точку активные силы.

В качестве активных сил выступает сила тяжести ().

4. Отбросить связи и заменить их реакциями.

В качестве реакций связей выступают:

 - нормальная реакция гладкой наклонной поверхности,

 - восстанавливающая сила упругости пружины.

5. Составить дифференциальные уравнения движения

Основной закон динамики (Аксиому 2): .

Спроектируем его на ось х (рис.3.1а):

.

Сила упругости пропорциональна суммарной деформации пружины:

,

где с – жесткость пружины (если задана система пружин, то считается эквивалентная жесткость),

 - статическая деформация пружины под действием веса груза D (находится из условий равновесия в состоянии покоя),

 - текущие координаты груза D и точки В.

Тогда дифференциальное уравнение движения приобретает вид:

.

6. Рассмотреть состояние равновесия покоя (рис.3.15б).

.

Откуда    и .

7. Преобразовать уравнение движения до классического вида и определить тип колебаний.

Подставим у дифференциальное уравнение условия равновесия покоя:

.

После преобразований получим: .

Это уравнение вынужденных колебаний (3.10) при введении следующих обозначений  и .

8. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения (3.10) имеет вид (3.11):

.

Подставим исходные данные ,

где  - постоянные интегрирования, полученные из начальных условий.

9. Записать начальные условия движения и найти неизвестные интегрирования.

В начальный момент времени пружины были деформированы под действием веса двух грузов D и Е. При условии, что начало координат взято из условия равновесия одного только груза D, то , где .

Поскольку в начальный момент система грузов D и е находилась в покое, то .

Найдем закон изменения скорости

.

Подставим начальные условия:

и .

Выразим  и :

и .

Найдем начальную фазу: .

Найдем амплитуду колебаний:

,

.

10. Записать частное решение, соответствующее начальным условиям.

Подставим численные значения:

,

,

.

Закон движения груза D: .

 

СЕМЕСТРОВОЕ ЗАДАНИЕ №2

 

Варианты 1-6. Груз D связан с системой упругих пружин (рис.3.16). В начальный момент времени (t=0) к нему добавляют или убирают груз Е, что вызывает колебательный процесс. Одновременно другой конец пружин (точка В) может начать совершать движения по заданному закону x(t) (начало движения соответствует среднему положению точки В). Стержень, соединяющий пружины - невесомый и недеформируемый движется поступательно. Найти уравнение движения груза D (системы грузов D и Е), приняв за начало отсчета - положение покоя при статической деформации . Исходные данные приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

Исходные данные к семестровому заданию №2 (вариант 1-6)

№ вар	, кг	, кг	, см	, Н/см	, Н/см	, Н/см	, м/с	груз Е
1	1	2	1,5sin(18t)	12	36	--	0	убирают
2	1,6	2,4	--	4	12	25	5	добавляют
3	15	25	0,5sin(30t)	250	--	--	0	добавляют
4	20	10	15sin(25t)	33	44	--	2	убирают
5	10	15	--	2	14	16	0,5	добавляют
6	3	1	--	64	--	--	0,3	убирают

Рис.3.16

Варианты 7-12. Груз D связан с системой упругих пружин (рис.3.17). В начальный момент времени (t=0) к нему добавляют или убирают груз Е, что вызывает колебательный процесс. Сила сопротивления движению R пропорциональна скорости движения V. Стержень, соединяющий пружины - невесомый и недеформируемый движется поступательно. Рассчитать период колебаний. Найти уравнение движения груза D (системы грузов D и Е), приняв за начало отсчета - положение покоя при статической деформации . Исходные данные приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2.

Исходные данные к семестровому заданию №2 (вариант 7-12)

№ вар	, кг	, кг	, Н	, Н/см	, Н/см	, Н/см	, м/с	груз Е
7	2	1	6V	12	--	--	0,2	добавляют
8	0,8	1,2	4V	--	10	--	0	добавляют
9	0,5	1,5	2V	--	--	16	0,4	убирают
10	20	10	60V	270	--	--	0	убирают
11	20	5	50V	200	160	140	0,2	убирают
12	5	6	10V	33	--	--	1	добавляют

 

Варианты 13-18. Груз D подсоединяют без начальной скорости к свободному концу недеформированной пружины (системе пружин), после чего начинается колебательные движения груза D вдоль наклонной плоскости (рис.3.18). Одновременно другой конец пружин (точка В) может начать совершать движения по заданному закону x(t) (начало движения соответствует среднему положению точки В). При наличии силы сопротивления движению R – принять ее пропорциональной скорости движения V. Рассчитать период колебаний. Найти уравнение движения груза D, приняв за начало отсчета - положение покоя при статической деформации . Трением скольжением пренебречь. Исходные данные приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3.

Исходные данные к семестровому заданию №2 (вариант 13-18)

№ вар	кг	, град	, см	, Н	, Н/см	, Н/см	, Н/см
13	2	30	2sin(5t)	--	6	5	--
14	3	45	--	--	5	6	7
15	1,5	60	--	2V	25	--	--
16	1,2	30	--	--	2	8	--
17	4	60	1,5sin(12t)	--	9	3	--
18	20	45	--	30V	500	700	--

 

Рис.3.17

 

Рис.3.18

Варианты 19-24. Груз D, опускаясь без начальной скорости с высоты h или пройдя по гладкой наклонной плоскости расстояние S, ударяется о недеформируемую пружину (систему пружин) и начинает совершать колебания (рис.3.19). Найти уравнение движения груза D, приняв за начало отсчета - положение покоя при статической деформации . Рассчитать период колебаний. При наличии силы сопротивления движению R – принять ее пропорциональной скорости движения V. Трением скольжением пренебречь. Исходные данные приведены в таблице 3.4.

Таблица 3.4.

Исходные данные к семестровому заданию №2 (вариант 19-24)

№ вар	кг	, град	, Н	, Н/см	, Н/см	, Н/см	, м	м
19	4	30	--	8	4	--	0,9	--
20	2	--	--	2	--	--	--	1
21	1,5	--	--	3	5	--	--	0,8
22	1,2	--	8V	40	--	--	--	0,5
23	10	60	--	--	20	--	0,5	--
24	14	--	--	15	18	12	--	0,3

Варианты 25-30. Груз D закреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться относительно горизонтальной оси. Груз соединен с пружиной (системой пружин). Положение покоя стержня, показанное на чертеже, соответствует недеформированным пружинам. Считая, что груз D движется по прямой, найти его уравнение движения.

В некоторый момент времени (t=0) груз выводят из состояния равновесия (). Одновременно другой конец пружин (точка В) может начать совершать движения по заданному закону x(t) (начало движения соответствует среднему положению точки В). При наличии силы сопротивления движению R принять ее пропорционально скорости движения V. За начало отсчета рекомендуется принять положение равновесия, изображенное на рис.3.20. Исходные данные приведены в таблице 3.5.

Таблица 3.5.

Исходные данные к семестровому заданию №2 (вариант 25-30)

№ вар	кг	, Н	, см	, Н/см	, Н/см	, Н/см	, м/с
25	2,1	--	2sin(6t)	1	1,4	--	0
26	3	--	1,8sin(8t)	6	--	--	0
27	1,4	4V	--	5	6	--	0,3
28	1,5	--	--	1	2	3	0,5
29	2,6	3V	--	8	--	--	0,4
30	1	--	--	8	6	--	0,2

Рис.3.19

Рис.3.20