2018-02-14
268
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ
Идеальный колебательный контур, состоящий из индуктивности L и ёмкости С, представляет собой линейный гармонический осциллятор, обладающий одной степенью свободы (рис.1.5.1). Состояние такого контура в любой момент времени однозначно описывается зарядом q на конденсаторе. Если сопротивление контура равно нулю, R =0, то при замыкании индуктивности на предварительно заряженный конденсатор с зарядом 
в контуре возникают гармонические колебания. Согласно второму правилу Кирхгофа 
. Падение напряжения на конденсаторе 
. При замыкании цепи в индуктивности возникает ЭДС индукции 
ток 
и 
. Тогда, подставляя во 2 пр. Кирхгофа: 
или 
(25) - уравнение уравнением свободных гармонических колебаний, 
- собственная частота колебаний контура. Решение (25): 
, 
– заряд конденсатора в момент времени t =0.
Ток в катушке (цепи): 
: сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π /2, ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π /2 (рис.1.5.2). Напряжение на конденсаторе: 
, 
- амплитуда напряжения на конденсаторе. При колебаниях происходит периодический переход электрической энергии конденсатора 
в магнитную энергию катушки 
, полная электромагнитная энергия сохраняется.
СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ
Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия в контуре постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание проводника, вследствие чего колебания затухают. По второму правилу Кирхгофа для цепи на рисунке 1.5.3: 
(26). Разделим (26) на L и подставим : 
, 
- собственная частота и 
- коэффициент затухания колебаний в эл/м контуре: 
(27) - дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
При 
или 
(затухание мало), решение (27): 
(28), частота зат. колебаний 
или подставляя 
и 
: частота затухающих колебаний 
меньше собственной частоты .
Напряжение на конденсаторе: 
Закон изменения силы тока: 
. Обозначая 
и используя тригонометрические формулы:
Так как 
то 
- при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на 
График функции 
на рис.1.5.4. Логарифмический декремент затухания 
.
Если затухание невелико 
и 
и добротность 
пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре в данный момент, к убыли этой энергии за один период. Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону e-βt, энергия W, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока, и W убывает по закону e-2βt. Относительное уменьшение энергии за период: 
При незначительном затухании λ<< 1 можно считать e-2λ ≈1-2λ и добротность 
.
При 
(затухание велико) частота становится комплексным числом и происходит апериодический процесс разрядки конденсатора, которому соответствует критическое сопротивление контура 
колебательный процесс становится апериодическим.
