Основные понятия математической логики

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними [4].

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно [4].

Для обозначения истины (истинного высказывания) используется символ 1, а для обозначения лжи (ложного высказывания) используется символ 0.

Рассмотрим примеры логических высказываний (см. Таблицу 1):

Таблица 1. Примеры логических выражений

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить более сложные высказывания. Такие слова и словосочетания называют логическими связками. Высказывания, образованные с помощью логических связок – называют составными высказываниями. Высказывания, не являющиеся составными, называют элементарными.

Для обозначения логических высказываний, им назначают имена. Например, если А – высказывание «В четверг был дождь», В – высказывание «В пятницу было солнечно», то составное высказывание «В четверг был дождь, а в пятницу было солнечно», можно записать в виде: А и В.

Здесь А, В – логические высказывания (могут быть либо истинными, либо ложными), и – логическая связка.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (см. Таблицу 2):

Таблица 2. Логические связки

№	Логическая связка	Название	Обозна-чение	Высказы-вание	Математическая запись
1	и	конъюнкция логическое умножение	Ù,  & *, And	A и В	A Ù B, A & B A * B, A And B
2	или	дизъюнкция логическое сложение	Ú +, Or	A или В	A Ú B A + B, A Or B
3	не	инверсия, логическое отрицание	, , Not	не А	А, , Not A
4	Если…то	импликация, логическое следование	→, Þ	Если A, то В	A → B A Þ B
5	тогда и только тогда	эквивалентность, равносильность, логическое тождество	«, º Û, ~	А тогда и только тогда, когда В	А«В, АºВ АÛВ, А~В

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание: A → B = А Ú B                                                     (1)

Эквивалентность можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: A «B = (А Ú B) Ù (B Ú А) (2)

Вычисление значения логического выражения производится слева направо в соответствии с таблицей истинности (см. Таблицу 3) и приоритетом выполнения логических операций (см. Таблицу 4). Порядок выполнения операций можно менять, используя круглые скобки.

Таблица 3. Таблица истинности

Таблица 4. Приоритет выполнения логических операций