Рассмотрение стационарных задач квантовой механики начнем с наиболее простой для анализа задачи - о движении частицы в потенциальной яме с непроницаемыми, т.е. бесконечно высокими стенками. Такие ямы называют еще потенциальными ящиками, наиболее часто это название применяется по отношению к трехмерной потенциальной яме. Выявленные при этом особенности движения, такие, например, как квантование энергии, вырождение энергетических уровней и т.д. в дальнейшем будут проанализированы для случая ямы конечной глубины.
Одномерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы имеет вид
т.е. внутри ямы () потенциальная энергия постоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность (рис.4.1).
Рис. 4.1. |
Запишем уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси
(4.11) |
Поскольку вне ямы потенциальная энергия обращается в бесконечность, то для того, чтобы выполнялось уравнение (4.11), необходимо, чтобы вне ямы волновая функция обращалась в ноль, т.е. . Это означает, что в случае ямы с бесконечно высокими стенками частица не может выйти за пределы ямы, поскольку такие стенки являются непроницаемыми для частицы. В силу непрерывности волновая функция должна обращаться в нуль и на границах ямы: при и при .
|
|
Таким образом, задача о движении частицы в яме сводится к решению уравнения
(4.12) |
с граничными условиями
Введем обозначение
(4.13) |
При этом уравнение (4.12) принимает вид хорошо известного из теории колебаний уравнения
решение которого есть
(4.14) |
Используя граничное условие , получаем
откуда следует, что , где . Отметим, что при четных значениях и при , а при нечетных значениях . Однако, физический смысл имеет не сама волновая функция , а квадрат ее модуля , который от выбора значения , т.е. от знака не зависит. Поэтому без потери общности можно считать, что .
Второе граничное условие приводит к соотношению
которое для выполняется при
(4.15) |
Отметим, что значение , формально также входящее в решение (4.14), не удовлетворяет условию задачи, т.к. при этом , что означает, что частица в яме отсутствует. Поэтому значение следует отбросить.
Подставляя (4.13) в (4.15), приходим к выражению для полной энергии частицы, движущейся в потенциальной яме с непроницаемыми стенками
(4.16) |
Важной особенностью полученного энергетического спектра (4.16) является его дискретность. Частица, находящаяся в потенциальной яме, может иметь только дискретные, квантованные, значения энергии, определяемые выражением (4.16) (см.рис.4.2). Отметим, что решение
|
|
Рис. 4.2. |
уравнения Шредингера само по себе к квантованию энергии не приводит, квантование возникает из-за граничных условий, накладываемых на волновую функцию, т.е. из-за равенства нулю волновой функции на границе потенциальной ямы.
Число в (4.16), определяющее энергию частицы в яме, называется квантовым числом, а соответствующее ему значение - уровнем энергии. Состояние частицы с наименьшей энергией, в данном случае с , называется основным состоянием. Все остальные состояния являются возбужденными: значение отвечает первому возбужденному состоянию, значение - второму возбужденному состоянию и т.д.
Следует отметить, что минимальное значение энергии частицы, находящейся в основном состоянии, отлично от нуля. Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей и является общим для всех задач квантовой механики. В классической механике минимальную энергию, равную нулю, имеет покоящаяся в яме частица. Такого состояния покоя у квантовой частицы не существует.
Обсудим подробнее вопрос о дискретности энергетического спектра. Разность энергий -го и -го энергетических уровней равна
Оценим величину для конкретных случаев.
Случай 1. Рассмотрим молекулу газа массой кг в сосуде размером м. При этом
Энергетическое расстояние между соседними уровнями оказывается столь малым по сравнению с энергией теплового хаотического движения молекулы (при комнатной температуре эВ), что практически можно говорить о сплошном энергетическом спектре движущейся молекулы.
Случай 2. Рассмотрим свободный электрон ( кг) в металле
( м). В этом случае
т.е. энергетическое расстояние между уровнями много меньше характерного значения энергии электронов в металле, составляющего по порядку величины ~ 1 эВ. Однако, как будет показано в главе VI, наличие дискретных уровней даже в случае потенциальной ямы макроскопических размеров для электронов имеет принципиально важное значение.
Случай 3. Рассмотрим свободный электрон в атоме ( м). При этом разность энергий соседних уровней равна
Это заметная величина по сравнению, например, с энергией связи электрона в атоме ( ~ 10 эВ). Поэтому дискретность энергетического спектра в этом случае оказывается весьма существенной.
Завершая обсуждение энергетического спектра частицы в потенциальной яме (4.16), отметим еще одно его свойство. Рассмотрим отношение к
При увеличении квантового числа это отношение уменьшается , таким образом, дискретность энергетического спектра с возрастанием играет все меньшую роль. Данный результат представляет собой проявление важного физического принципа - принципа соответствия, согласно которому при больших значениях квантового числа , т.е. при , квантовая механика переходит в механику классическую.
Волновые функции частицы в одномерной яме. Перейдем теперь к анализу волновых функций частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме. Из (4.14) с учетом (4.15) получаем
Множитель находится из условия нормировки волновой функции (4.10)
Таким образом, для получаем
и волновые функции частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеют вид
(4.17) |
Отметим, что эти функции, в согласии с общей теорией (см. 3.5), являются ортонормированными, т.е.
где - символ Кронекера
(4.18) |
Графики волновых функций для первых четырех значений квантового числа приведены на рис.4.3. Волновые функции, отвечающие
Рис. 4.3. |
разным значениям , существенно отличаются друг от друга. Если поместить начало координат в середину ямы, то волновые функции частицы внутри ямы для нечетных значений будут четными функциями координаты , и наоборот, волновые функции для четных - нечетными функциями координаты. При увеличении квантового числа на единицу число точек пересечения волновой функции с осью также увеличивается на единицу.
|
|
Отличительным свойством найденных волновых функций является излом, т.е. скачок производной на границах ямы. Этот скачок возникает вследствие того, что на границах ямы потенциальная энергия частицы обращается в бесконечность. В случае ямы конечной глубины, как показано в разделе 4.4, скачок производной волновой функции на границе ямы отсутствует, т.е. волновая функция является гладкой.
На рис.4.4 представлены графики квадрата модуля волновой функции , определяющего плотность вероятности нахождения частицы в яме.
Рис. 4.4. |
Плотность вероятности оказывается существенно различной для разных состояний частицы, т.е. для разных значений квантового числа . Так, например, в основном состоянии, т.е. при , частица с наибольшей вероятностью находится в центре ямы, а в первом возбужденном состоянии, т.е. при , вероятность обнаружить частицу в центре ямы равна нулю, хотя пребывание частицы в левой и правой половинах ямы равновероятно. Такое поведение кардинально отличается от поведения в яме классической частицы, для которой плотность вероятности нахождения частицы одинакова в любой точке ямы.
Вероятность того, что частица в яме находится в области , определяется выражением
(4.19) |
Отметим, что с математической точки зрения задача о движении частицы в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками аналогична задаче о колебании струны с закрепленными концами. И в том, и в другом случае из граничных условий следует, что на ширине ямы (на длине струны) должно укладываться целое число полуволн . В нашем случае - это дебройлевская длина волны частицы в яме .
Двумерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы имеет вид
|
|
где - прямоугольная область на плоскости (рис.4.5). Вне потенциальной ямы, как и в одномерном случае,
Рис. 4.5. |
волновая функция частицы . Поскольку движение частицы в яме вдоль осей и происходит независимо, то волновую функцию будем искать в виде произведения
(4.20) |
где - функция, зависящая только от координаты , а - функция, зависящая только от координаты . Подставляя волновую функцию (4.20) в уравнение Шредингера (4.6), получаем
или
Разделив левую и правую части этого выражения на , приходим к соотношению
(4.21) |
Первое слагаемое в левой части (4.21) зависит только от , а второе - только от . Поскольку их сумма равна постоянной величине, то это означает, что каждое из слагаемых также представляет собой постоянную величину, т.е.
где и - константы, имеющие размерность энергии, причем . Таким образом, уравнение Шредингера для двумерной задачи разделяется на два одномерных уравнения
(4.22) |
решения которых были нами получены в предыдущем параграфе. Функции
и имеют вид
где квантовые числа и принимают значения . В результате волновая функция частицы, находящейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, есть
(4.23) |
Энергия частицы в двумерной яме определяется выражением
(4.24) |
Энергетический спектр частицы (4.24), как и следовало ожидать, является дискретным и зависит от двух квантовых чисел и .
Рассмотрим движение частицы в квадратной потенциальной яме, т.е. при . В этом случае энергетический спектр частицы имеет вид
(4.25) |
Из (4.25) следует, что одному и тому же энергетическому уровню , определяемому квантовыми числами и , при соответствуют два различных состояния частицы, описываемых волновыми функциями и . Энергетический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний частицы, называется вырожденным уровнем, а число соответствующих ему состояний называется кратностью вырождения или степенью вырождения уровня. В случае двумерной квадратной потенциальной ямы кратность вырождения энергетического уровня, для которого , равна двум. Энергетический уровень, которому соответствует одно состояние частицы, называется невырожденным. В двумерной квадратной потенциальной яме невырожденными являются энергетические уровни с .
Трехмерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (потенциальном ящике). Обозначим через внутреннюю область прямоугольного параллелепипеда (рис.4.6). В данной задаче потенциальная энергия частицы имеет вид
Вне потенциальной ямы волновая функция частицы . Внутри
Рис. 4.6. |
ямы будем, так же как и в двумерном случае, искать волновую функцию в виде произведения
где функция зависит только от координаты , - зависит только от , - только от .
Используя тот же самый метод решения, что и для двумерной ямы, из уравнения Шредингера в трехмерном случае получаем три одномерных уравнения
где . Решение этих уравнений, обращающееся в нуль на границе области , т.е. на непроницаемых стенках потенциального ящика, определяет вид волновой функции частицы
(4.26) |
и ее энергетический спектр
(4.27) |
Здесь квантовые числа , и принимают значения . Отметим, что и волновая функция частицы, и ее энергия в случае трехмерной потенциальной ямы зависят от трех квантовых чисел.
Рассмотрим движение частицы в кубической потенциальной яме, т.е. будем считать, что . В этом случае энергетический спектр частицы имеет вид
(4.28) |
Энергетические уровни в кубической яме, для которых , являются невырожденными, все остальные уровни вырождены. Вопрос о кратности вырождения энергетических уровней в кубической яме рассмотрен в задаче 4.4.