Свойство 4. Спектр произведения двух сигналов

Свойство 1. Линейность

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Если то спектр равен:

где и - спектры сигналов и соответственно.

При умножении сигнала на константу спектр сигнала также умножается на константу:

Свойство 2. Временной сдвиг

Пусть сигнал имеет спектр . Если сдвинуть сигнал циклически на отсчетов, т.е. , то спектр сдвинутого сигнала равен:

Введем замену переменной , тогда и выражение (4) можно переписать:

Таким образом циклический сдвиг сигнала на приводит к повороту фазового спектра, а амплитудный спектр не меняется.

Необходимо сделать замечание. Выражение (5) справедливо только для циклического сдвига.

 

Красным цветом на верхнем графике показан исходный сигнал , на среднем со сдвигом отсчета (с опережением), а на нижнем графике сдвинутый на отсчета (с запаздыванием). Видно что при циклическом сдвиге при опережении первые отчетов переносятся из начала в конец выборки, а при запаздывании последние отчетов переносятся из конца выборки в начало.
Свойство 3. ДПФ циклической свертки сигналов

Пусть сигнал есть результат циклической свертки сигналов и :

Рассчитаем спектр сигнала :

Поменяем местами операции суммирования:

При выводе выражения (8) было использовано свойство временного сдвига. Таким образом можно сделать вывод о том, что спектр циклической свертки двух сигналов равен произведению спектров этих сигналов. Это свойство позволяет использовать быстрые алгоритмы ДПФ для вычисления свертки.

Свойство 4. Спектр произведения двух сигналов

Пусть сигнал равен произведению сигналов и , причем и - спектры сигналов и соответственно.

Подставим в выражение (9) выражения для сигнала в виде ОДПФ от спектра :

Поменяем местами операции суммирования в выражении (10) и получим:

Таким образом, спектр произведения сигналов представляет собой циклическую свертку спектров этих сигналов.
Свойство 5. Свойство частотного сдвига

Пусть сигнал имеет спектр . Произведем циклический сдвиг спектра и рассмотрим ОДПФ, тогда:

Таким образом получили, что сдвиг спектра осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту. Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.