2014-02-24
7415
Под свойствами подразумевается взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.
Рассмотрим два абстрактных сигнала 
и 
и их спектральные функции 
, 
. Сформулируем основные свойства преобразования Фурье.
1. Линейность.
Преобразование Фурье является линейным:
; 
. (7)
2. Задержка.
,
(8)
(спектр исходного сигнала умножается на 
). Т.е. амплитудный спектр сигналов не меняется, т.к. модуль комплексной экспоненты = 1, а фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое 
, которое линейно зависит от частоты.
3. Изменение масштаба времени.
Известно, что чем короче сигнал, тем шире его спектр:
, (9)
т.е. 
– сигнал сжимается,
– сигнал растягивается
– происходит зеркальное отражение сигнала относительно 
.
. (10)
Изменение длительности сигнала приводит к изменению ширины спектра в противоположную сторону 
в сочетании с увеличением 
или уменьшением 
уровня спектральных составляющих.
Если 
, то 
вызывает перестановку пределов интегрирования и несет за собой изменение знака у результата:
или в общем случае:
, (11)
при 
.
Зеркальное отражение сигнала относительно начала отсчета времени приводит к зеркальному отражению спектра относительно нулевой частоты, что способствует комплексному сопряжению спектра.
4. Дифференцирование сигнала.
Воспользуемся понятием производной:
, (12)
тогда
, (13)
где 
– оператор дифференцирования в частотной области.
При дифференцировании спектр получается путем умножения исходного сигнала на . Фазовый спектр сдвигается на 
для 
и на 
для 
.
При дифференцировании низкие частоты ослабевают, а высокие – усиливаются.
5. Интегрирование сигнала.
Интегрирование сигнала – операция обратная дифференцированию:
. (14)
Эта формула справедлива для сигналов, не содержащих постоянной составляющей:
, (15)
иначе:
, (16)
где 
– оператор интегрирования, 
– дельта-функция.
При интегрировании высокие частоты ослабевают, а низкие – усиливаются. Фазовый спектр сдвигается на для и на для .
6. Спектр свертки сигналов.
Свертка сигналов является часто используемой в радиотехнике интегральной операцией, поскольку она описывает, в частности, прохождение сигнала через линейную систему с постоянными параметрами:
. (17)
Подвергнем такую свертку преобразованию Фурье:
. (18)
Спектр свертки равен произведению спектров.
7. Спектр произведения сигналов.
Дуальность преобразования Фурье и соотношение, полученное выше, позволяют предугадать результат. Однако все-таки получим его:
, (19)
тогда:
(20)
Как и следовало ожидать, спектр произведения представляет собой свертку спектров.
8. Умножение сигнала на гармоническую функцию.
Умножим исходный сигнал, спектр которого нам известен, на гармоническую функцию:
. (21)
Посмотрим, что произошло со спектром сигнала:
. (22)
Как видно, спектр «раздвоился»: распался на два слагаемых вдвое меньшего уровня (множитель 
), смещенных на 
вправо: 
и влево: 
по оси частот. Кроме того, при каждом слагаемом имеется множитель, учитывающий начальную фазу гармонического колебания.
9. Связь преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье.
Пусть 
– сигнал конечной длительности, а 
– его спектральная функция. Получим на основе периодический сигнал, взяв период повторения 
не меньше длительности сигнала:
. (23)
Таким образом, между спектральной функцией одиночного импульса и коэффициентами 
ряда Фурье для периодической последовательности таких импульсов существует простая связь:
. (24)
Лекция №4. Дискретные сигналы.
