Корреляционная функция и спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса

Прежде всего, определим понятие случайного процесса. В общем случае случайный процесс определяют путем указания бесконечной совокупности различающихся между собой функций , которые могли бы наблюдаться при неоднократном воспроизведении одних и тех же условий эксперимента. Такие функции называются выборочными реализациями случайного процесса, а их совокупность – ансамблем реализаций.

Говоря не об одной выборочной реализации, а о процессе в целом, в каждый момент времени t мы имеем дело с некоторой случайной величиной , которая может быть описана плотностью распределения вероятности . В любые два момента времени и мы уже имеем дело с системой двух случайных величин и , которая описывается соответствующей двумерной плотностью распределения . Далее можно произвольно увеличивать число моментов времени N и уточнять их положение на оси времени и при этом получать N-мерные случайные величины, для вероятностного описания которых требуется знание N-мерных совместных плотностей распределения . Случайный процесс считается исчерпывающе описанным в вероятностном смысле только в том случае, если известны все такие конечномерные распределения при любых N.

Очевидно, что в общем случае задача получения такого исчерпывающего описания практически не может быть решена. Поэтому в теории случайных процессов, исходя из особенностей подлежащих анализу экспериментальных сигналов, вводятся некоторые упрощающие предположения относительно вероятностных свойств порождающего их случайного процесса. Одним наиболее часто используемых на практике предположений является предположение стационарности случайного процесса.

Стационарный случайный процесс определяют как случайный процесс, для которого все совместные плотности распределения любого порядка инвариантны к произвольному одновременному сдвигу всех моментов времени, в которые берутся случайные отсчеты:

. (1)

Другими словами, вероятностные свойства стационарного случайного процесса не меняются со временем.

Стационарность накладывает некоторые ограничения на моментные характеристики, которые часто используют для количественного описания случайных процессов. Так среднее значение процесса, определяемое в общем случае как момент первого порядка:

, (2)

где М – оператор математического ожидания, для стационарного процесса не зависит от времени, т.е. .

Корреляционная функция, которая в общем случае является функцией двух временных аргументов

, (3)

для стационарных процессов будет функцией только одного аргумента , т.е. при любых .

Подобные ограничения накладываются и на моментные характеристики третьего и последующего порядков. На практике, однако, обычно ограничиваются рассмотрением характеристик не старше второго порядка. В связи с этим в 30-х годах советским математиком Я.Хинчиным был введен класс т.н. стационарных в широком смысле случайных процессов, т.е. процессов, для которых требование стационарности выполнено только для первых двух моментных характеристик – среднего и корреляционной функции. В этом смысле данный класс действительно шире, чем ранее определенный класс стационарных процессов. В связи с этим обычную стационарность еще иногда называют стационарностью в узком смысле.

Введение понятия стационарности в широком смысле и рассмотрение только первых двух моментных характеристик оправдано еще следующими двумя важными обстоятельствами. Многие шумоподобные экспериментальные сигналы можно с некоторым приближением считать нормальными, т.е. предполагать, что все их конечномерные законы распределения являются нормальными (гауссовыми). В качестве обоснования такого предположения часто просто ссылаются на центральную предельную теорему теории вероятностей, утверждающую, что закон распределения случайной величины, в формировании которой примерно в равной доле участвуют несколько случайных причин, стремится к нормальному. Справедливо утверждение о том, что стационарный в широком смысле нормальный случайный процесс является стационарным и в узком смысле. Более того, справедливо еще более сильное утверждение: знание среднего и корреляционной функции нормального стационарного случайного процесса позволяет однозначно восстановить все моментные функции более высоких порядков и в конечном итоге восстановить конечномерные распределения любого порядка. Иными словами, для нормального процесса среднее и корреляционная функция полностью определяют все его вероятностные свойства.

Несомненно, более содержательной статистической характеристикой стационарного случайного процесса является не среднее, а именно корреляционная функция

. (4)

Основные свойства корреляционной функции (КФ) стационарного случайного процесса:

1. КФ достигает максимума в точке , где она совпадает с дисперсией процесса: ;

2. КФ симметрична: ;

3. при .

Значение корреляционной функции при некотором представляет собой корреляционный момент между двумя сечениями случайного процесса, отстоящими на расстояние . Корреляционный момент учитывает степень выраженности линейной статистической зависимости двух случайных величин. Эта зависимость может быть положительной и тогда превышение над средним уровнем в первом сечении влечет c большой вероятностью превышение уровня и в другом сечении . В случае значительной отрицательной корреляционной связи при превышении в первом сечении среднего уровня значение случайной реализации в другом сечении скорее всего будет ниже среднего уровня.

Проведенные выше рассуждения приводят к следующей полезной интерпретации корреляционной функции в целом при анализе случайных сигналов. Предположим, в реализациях исследуемого случайного процесса в силу тех или иных причин присутствует значительная квазигармоническая компонента определенной частоты. Тогда отсчеты процесса, отстоящие по времени на половину периода квазигармонической компоненты, будут отрицательно коррелированы, отсчеты, отстоящие на полный период, снова положительно коррелированы и т.д. В целом корреляционная функция в этом случае будет знакопеременной. Ее абсолютные значения будут убывать вследствие того, что из-за случайности зависимость между отсчетами случайного сигнала в среднем ослабевает. Скорость убывания этих абсолютных значений будет определяться мощностью и частотной локализованностью квазигармонической компоненты. Квазигармонический процесс с другим основным периодом породит также знакопеременную корреляционную функцию, но с другой частотой осцилляций. Корреляционная функция может не содержать вообще отрицательных значений, что свидетельствует об отсутствии в сигнале каких-либо значительных квазигармонических компонент. Таким образом, корреляционная функция “чувствует” частотную структуру случайного сигнала, что бывает очень важно для исследователя. Однако, хотелось бы иметь характеристику, более прямо дающую представление о частотном составе случайного сигнала.

Такая характеристика - спектральная плотность мощности (СПМ) стационарного случайного процесса - была введена Я.Хинчиным. Она может быть получена как Фурье-преобразование от корреляционной функции

. (5)

В свою очередь, корреляционная функция может быть восстановлена из спектральной плотности с помощью обратного преобразования Фурье:

. (6)

Пара преобразований (5, 6) носит название теоремы Винера-Хинчина. Название и содержательный смысл спектральной плотности мощности следует из последнего выражения при подстановке . Как отмечалось ранее, в этом случае мы получим выражение для дисперсии (полной мощности) случайного процесса:

. (7)

Таким образом, функция фактически описывает, как полная мощность случайного процесса распределена по частотам. NB. Есть еще одно полезное определение СПМ . Всякий стационарный случайный процесс может быть представлен в виде интегральной суперпозиции синусоид всех возможных частот от 0 до , при этом каждая синусоида имеет случайную амплитуду и случайную фазу . Математическое ожидание квадрата амплитуды синусоиды некоторой частоты есть средняя мощность данной синусоиды в случайном процессе . Суммируя мощности всех синусоидальных составляющих мы получаем полную мощность (дисперсию) случайного процесса .

СПМ симметрична: , поэтому ее обычно рассматривают только на положительных частотах. При этом, если в случайном процессе присутствует мощная квазигармоническая компонента, то она проявится в СПМ в виде заметного пика на основной частоте квазигармонической компоненты. Площадь под пиком определяет мощность этой компоненты, ширина пика характеризует степень монохромности (частотной локализованности) данной квазигармонической компоненты. Если в сигнале присутствуют несколько квазигармонических компонент различных частот, то все они проявятся в СПМ. Таким образом, СПМ, будучи взаимно-однозначно связанной с корреляционной функцией (5,6), более наглядно описывает частотный состав случайных сигналов. Поэтому в системах анализа сигналов приоритет отдается именно спектральной плотности мощности.