Логистическое уравнение тренда

Уравнение имеет наиболее общий вид:

При расчете этого уравнения логарифмируют величину, производную от уровней ряда, но не номера периодов (моментов) времени, эту нумерацию поэтому рациональнее проводить от середины ряда. Особенностью логистического тренда является этап обоснования значений максимального и минимального уровней временного ряда. Это обоснование осуществляется на основе, во-первых, уровней фактического ряда, во-вторых, теоретических, т.е. внешних по отношению к статистике, соображений. относящихся к содержанию изучаемого процесса.

Уравнение логистического тренда в общем виде непосредственно логарифмировать невозможно. Преобразуем его в форму:

 

и обозначим его левую часть, т.е.

т.е.  =>

 

Условие метода наименьших квадратов:

 

подставляя значение  имеем:

 

 

После вычисления частных производных по a₀ и по a₁, получаем нормальные уравнения МНК для логистической кривой, аналогичные таковым для прямой линии, так как заменой на  фактически проведена линеаризация функции логистической кривой:

 

При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда система упрощается до двух уравнений с одним неизвестным в каждом из них:

ð

 

Итак, алгоритм расчета логистической кривой состоит из десяти этапов:

1) обоснование величин y_max, y_min;

2) вычисление по фактическому временному ряду значений

 

3) вычисление ;

4) нумерация периодов или моментов времени от середины ряда;

5) умножение  на t_i;

6) подсчет итоговых сумм

7) вычисление

8) вычисление

9) вычисление для всех периодов

;

;

10) Вычисление уровней тренда

 

 

Проведем расчет логистического тренда по данным рис. 1.

Рис. 1. Логистическая тенденция динамики доли тепловозной и электровозной тяги в грузообороте железных дорог СССР

Период охватывает почти весь процесс замены паровозов тепловозами и электровозами. Наиболее быстро этот процесс происходил с 1960 по 1964 г.

Исходя из границ периода времени и фактических уровней ряда получаем:

 

Уравнение логистического тренда доли прогрессивных видов тяги в грузообороте железных дорог за 1955-1968 гг. имеет вид:

 

Таблица показывает достаточно близкое приближение логистической кривой, судя по тому, что сумма уровней тренда различается от суммы фактических уровней менее чем на 1%. Напомним, что, в отличие от прямой и параболы, алгоритм расчета других кривых не предусматривает автоматического равенства сумм выравненных и фактических уровней, они совпадают только при идеальном выражении тенденции ряда данным уравнением тренда.