Понятие гомо – и гетероскедастичности

 

При проведении регрессионного анализа, основанного на МНК, следует обратить внимание на проблемы, связанные со свойствами случайных отклонений модели. Свойства оценок коэффициентов регрессии напрямую зависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Для получения качественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК. Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Дисперсия случайных отклонений ε_i постоянна.

для любых наблюдений i и j. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсии отклонений).

При наличии гетероскедастичности  в простой эконометрической модели, т.е. , чтоб оценить параметры 1МНК, достаточно изменить спецификацию модели. Когда строится модель множественной регрессии со многими переменными, такое преобразование значительно усложняется. Поэтому вначале следует одним из методов определить присутствие гетероскедастичности, а потом оценить параметры модели с использованием специального подхода.

Использование того или иного метода проверки эконометрической модели на гетероскедастичность  зависит от входных данных. Могут быть предложены четыре таких метода: критерий μ; параметрический тест Голдфелда – Квандта; непараметрический тест Голдфелда – Квандта; тест Глейсера (Глейзера).

 

Критерий μ.

 

Критерий применяется в случае значительной совокупности наблюдений n.

 Значения зависимого показателя разбиваются на групп в соответствии с изменениями уровня величины (по возрастанию, например). По каждой группе данных вычисляем сумму квадратов отклонений , .

Определяется  сумма квадратов отклонений в целом по совокупности наблюдений:

, где - количество элементов в - й группе.

 

Вычисляется  параметр , де - количество наблюдений.

 

И, наконец, вычисляется значение критерия , который приблизительно отвечает распределению со степенью свободы , если дисперсия всех наблюдений однородна.

Таким образом, если значение не меньше табличного значения при выбранном уровне доверия и степени свободы , то принимается гипотеза о наличии гетероскедастичности.

Тест Голдфелда-Квандта (параметрический)

Параметрический тест Гольдфельда-Квандта применяется, если количество наблюдений невелико и сделано предположение о том, что дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату одной из независимых переменных.  Он заключается в следующем. Все наблюдения упорядочиваются по переменной, от которой предполагается зависимость остатков. Затем вся выборка объемом в  наблюдений разбивается на три подвыборки объёмами . При этом рекомендуется использовать . Далее для первой и третьей выборок решаются задачи регрессионного анализа и определяются суммы квадратов остатков для каждой из задач  и . После этого с помощью статистики Фишера проверяется статистическая нуль-гипотеза . Если вероятность этой гипотезы пренебрежимо мала (меньше заданного уровня значимости, то есть и существенно отличаются), то нуль-гипотеза отвергается и факт гетероскедастичности считается установленным. В противном случае нет оснований для отклонения нуль-гипотезы и модель признаётся гомоскедастичной. Для парной регрессии Голдфелд и Квандт предлагают n=30, k=11; n=60, k=22.

 

Тест Голдфелда-Квандта (непараметрический)  основывается на исследовании графического изображения зависимости остатков от упорядоченных наблюдений X. Если для всех значений переменной x_i  (i=1,…,m) остатки распределяются неравномерно и без определённой закономерности, то дисперсия остатков является переменой величиной и наблюдается явление гетероскедастичности.

 

Тест Глейсера

По данному методу оценивается регрессионная зависимость модулей отклонений |ε_i| от x_i. При этом рассматриваемая зависимость моделируется следующим уравнением регрессии .

Изменяя значения k можно построить различные регрессии. Обычно k =….-1; 0,5; 0,5;1;… Статистическая значимость коэффициента β в каждом конкретном случае фактически означает наличие гетероскедастичности. Если для нескольких регрессий коэффициент β оказался статистически значимым, то при определении характера зависимости обычно ориентируются на лучшую из них.

Кроме рассмотренных методов определения гетероскедастичности существуют и другие методы и тесты.

 

 Для оценивания параметров эконометрической модели, в которой наблюдается явление гетероскедастичности, следует применять обобщённый метод наименьших квадратов (ОМНК) – метод Эйткена. Идея этого метода состоит в определении оценок матрицы параметров А с использованием дополнительно вычисленной диагональной матрицы S, с помощью которой корректируется входная информация.

Матрица S имеет вид:

 - параметры, которые вычисляются с использованием гипотез:

 

дисперсия остатков пропорциональна изменениям объясняющей переменной хi, тогда

 

; дисперсия остатков пропорциональна изменениям квадрату объясняющей переменной, тогда ; дисперсия остатков пропорциональна изменениям квадрату остатков по модулю, тогда .

Использование для модели МНК приводит к следующей формуле оценивания параметров ОМНК .

             

  АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ОТКЛОНЕНИЙ (природа и последствия автокорреляции)

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений: случайные отклонения ε_i и ε_j являются независимыми друг от друга при i<>j.  Выполнимость данной предпосылки предполагает, что отсутствует систематическая связь между любыми случайными отклонениями. Другими словами, величина и определённый знак любого случайного отклонения не должны быть причинами величины и знака любого другого отклонения.  Если данное условие выполняется, говорят об отсутствии автокорреляции. 

Определённая закономерность в поведении отклонений может явиться следствием либо нелинейного характера связи двух переменных в генеральной совокупности, либо воздействием какого-то фактора, не включённого в уравнение регрессии. 

Для оценки неслучайности отклонений нужно ввести количественную меру. Неизвестные отклонения для генеральной совокупности ε_i заменяются их аналогами для выборки e_i. Для них обычно проверяется некоррелированность (которая является необходимым, но недостаточным атрибутом независимости) соседних величин. Соседними считаются соседние по времени для временных рядов или по возрастанию переменной   x для перекрёстных данных.

Для проверки наличия автокорреляции используют критерий Дарбина – Уотсона, критерий фон Неймана, критерий нецикличного коэффициента автокорреляции и критерий цикличного коэффициента автокорреляции.

Наиболее известным критерием для обнаружения автокорреляции 1-го порядка (временной лаг =единице времени) является критерий Дарбина – Уотсона. Суть его состоит в вычислении статистики DW Дарбина – Уотсона и на основе её величины – осуществлении выводов об автокорреляции.

Величина DW изменяется от 0  для случая e_i = e_{i- 1} (положительная автокорреляция остатков) до 4 для   случая e_i =- e_{i- 1} (отрицательная автокорреляция остатков). Последняя встречается в экономическом анализе редко. Если характер отклонений случаен, то можно предположить, что в примерно половине случаев знак соседних отклонений совпадает, а в половине – различен. И если абсолютные значения отклонений примерно совпадают, можно считать, что в половине случаев e_i = e_{i- 1}, в другой половине

e_i =- e_{i- 1}. При этом DW =2. Т.о близость статистики Дарбина – Уотсона к двум является необходимым условием случайного отклонения от линии регрессии, но недостаточным. Надо иметь в виду, что при подсчёте сравниваются только соседние значения, в то время как циклы изменения экономических переменных могут быть более длительными, чем одна единица времени, а статистика DW может быть близкой к 2 при выраженной регулярности отклонений.

В любом случае стоит посмотреть на график поведения отклонений, и в случае необходимости поискать нелинейную форму, либо включить неучтённые до этого факторы, уточнить период применения расчётов или разбить его на части. Существуют также специальные приёмы, уменьшающие автокорреляцию остатков: метод скользящих средних, автокорреляционное преобразование и др. 

 

.