Примем некоторые допущения относительно уравнения:
yt=a0+a1xt+ εt (8)
• пусть yt и xt не содержат тенденции, например, представляют собой отклонения выровненных по трендам значений от исходных уровней временных рядов;
• пусть оценки а0 и а1 параметров уравнения регрессии найдены обычным МНК;
• пусть критерий Дарбина-Уотсона показал наличие автокорреляции в остатках первого порядка.
Чтобы понять, каковы последствия автокорреляции в остатках для оценок параметров модели регрессии, найденных обычным МНК, построим формальную модель, описывающую автокорреляцию в остатках. Автокорреляция в остатках первого порядка предполагает, что каждый следующий уровень остатков εt зависит от предыдущего уровня εt -1.
Следовательно, существует модель регрессии вида
(9)
где с и d – параметры уравнения регрессии.
В соответствий с рабочими формулами МНК имеем:
|
|
(10)
Учитывая, что сумма остатков равна нулю можно показать, что:
(11)
где – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.
Таким образом, имеем:
(12)
где ut – случайная ошибка.
Заметим, что | | < 1.
Учитывая соотношение (12), уравнение (8) можно переписать в виде
(13)
Найденные соотношения показывают, что текущий уровень ряда yt зависит не только от факторной переменной xt, но и от остатков предшествующего периода t-1.
Допустим, мы не принимаем во внимание эту информацию и определяем оценки параметров а0 и а1 уравнения (8) обычным МНК. Тогда можно показать, что полученные оценки неэффективны, т. е. они не имеют минимальную дисперсию. Это приводит к увеличению стандартных ошибок, снижению фактических значений t- критерия и широким доверительным интервалам для коэффициента регрессии. На основе таких результатов можно сделать ошибочный вывод о незначимом влиянии исследуемою фактора на результат, в то время как на самом деле его влияние статистически значимо.
При соблюдении прочих предпосылок МНК автокорреляция остатков не влияет на свойства состоятельности и несмещенности оценок параметров уравнения регрессии обычным МНК, за исключением моделей авторегрессии. Применение МНК к моделям авторегрессии ведет к получению смещенных, несостоятельных и неэффективных оценок.
Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК. Для его реализации необходимо выполнять следующие условия.
|
|
1. Преобразовать исходные переменные уt, и хt, к виду и .
2. Применив обычный МНК к уравнению , определить оценки параметров и .
3. Рассчитать параметр а исходного уравнения из соотношения t по формуле:
(14)
4. Выписать исходное уравнение (8).
Обобщенный метод наименьших квадратов аналогичен методу последовательных разностей. Однако мы вычитаем из уt не все значения предыдущего уровня yt-1, а некоторую его долю . При =1 это будут первые разности и .
Поэтому в случае, если значение критерия Дарбина-Уотсона близко к нулю, применение метода первых разностей вполне обоснованно. Если = –1, т. е. в остатках наблюдается полная отрицательная автокорреляция, то изложенный выше метод заменяется моделью:
(15)
В этой модели определяют средние за два периода уровни каждого ряда, а затем по полученным усредненным уровням обычным МНК рассчитываем параметры a0 и a1. Данная модель называется моделью регрессии по скользящим средним.
Основная проблема, связанная с применением данного метода, заключается в том, как получить оценку
Существует множество способов оценить численное значение коэффициента автокорреляции остатков первого порядка. Однако основными способами являются оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам, полученным по исходному уравнению регрессии, и получение его приближенного значения из соотношения между коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка и критерием Дарбина-Уотсона:
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Таблица
Статистика Дарбина-Уотсона: dL и dU (уровень значимости 5%) | ||||||||||
n | k=1 | k=2 | k=3 | k=4 | k=5 | |||||
d L | d U | d L | d U | d L | d U | d L | d U | d L | d U | |
7 | 0,70 | 1,36 | 0,95 | 1,54 | 0,82 | 1,75 | 0,69 | 1,97 | 0,56 | 2,21 |
16 | 1,10 | 1,37 | 0,98 | 1,54 | 0,86 | 1,73 | 0,74 | 1,93 | 0,62 | 2,15 |
17 | 1,13 | 1,38 | 1,02 | 1,54 | 0,90 | 1,71 | 0,78 | 1,90 | 0,67 | 2,10 |
18 | 1,16 | 1,39 | 1,05 | 1,53 | 0,93 | 1,69 | 0,82 | 1,87 | 0,71 | 2,06 |
19 | 1,18 | 1,40 | 1,08 | 1,53 | 0,97 | 1,68 | 0,86 | 1,85 | 0,75 | 2,02 |
20 | 1,20 | 1,41 | 1,10 | 1,54 | 1,00 | 1,68 | 0,90 | 1,83 | 0,79 | 1,99 |
21 | 1,22 | 1,42 | 1,13 | 1,54 | 1,03 | 1,67 | 0,93 | 1,81 | 0,83 | 1,96 |
22 | 1,24 | 1,43 | 1,15 | 1,54 | 1,05 | 1,66 | 0,96 | 1,80 | 0,86 | 1,94 |
23 | 1,26 | 1,44 | 1,17 | 1,54 | 1,08 | 1,66 | 0,99 | 1,79 | 0,90 | 1,92 |
24 | 1,27 | 1,45 | 1,19 | 1,55 | 1,10 | 1,66 | 1,01 | 1,78 | 0,93 | 1,90 |
25 | 1,29 | 1,45 | 1,21 | 1,55 | 1,12 | 1,66 | 1,04 | 1,77 | 0,95 | 1,89 |
26 | 1,30 | 1,46 | 1,22 | 1,55 | 1,14 | 1,65 | 1,06 | 1,76 | 0,98 | 1,88 |
27 | 1,32 | 1,47 | 1,24 | 1,56 | 1,16 | 1,65 | 1,08 | 1,76 | 1,01 | 1,86 |
28 | 1,33 | 1,48 | ,26 | 1,56 | 1,18 | 1,65 | 1,10 | 1,75 | 1,03 | 1,85 |
29 | 1,34 | 1,48 | 1,27 | 1,56 | 1,20 | 1,65 | 1,12 | 1,74 | 1,05 | 1,84 |
30 | 1,35 | 1,49 | 1,28 | 1,57 | 1,21 | 1,65 | 1,14 | 1,74 | 1,07 | 1,83 |
31 | 1,36 | 1,50 | 1,30 | 1,57 | 1,23 | 1,65 | 1,16 | 1,74 | 1,09 | 1,83 |
32 | 1,37 | 1,50 | 1,31 | 1,57 | 1,24 | 1,65 | 1,18 | 1, 73 | 1,11 | 1,82 |
33 | 1,38 | 1,51 | 1,32 | 1,58 | 1,26 | 1,65 | 1,19 | 1,73 | 1,13 | 1,81 |
34 | 1,39 | 1,51 | 1,33 | 1,58 | 1,27 | 1,65 | 1,21 | 1,73 | 1,15 | 1,81 |
35 | 1,40 | 1,52 | 1,34 | 1,58 | 1,28 | 1,65 | 1,22 | 1,73 | 1,16 | 1,80 |
36 | 1,41 | 1,52 | 1,35 | 1,59 | 1,29 | 1,65 | 1,24 | 1,73 | 1,18 | 1,80 |
37 | 1,42 | 1,53 | 1,36 | 1,59 | 1,31 | 1,66 | 1,25 | 1,72 | 1,19 | 1,80 |
38 | 1,43 | 1,54 | 1,37 | 1,59 | 1,32 | 1,66 | 1,26 | 1,72 | 1,21 | 1,79 |
39 | 1,43 | 1,54 | 1,38 | 1,60 | 1,33 | 1,66 | 1,27 | 1,72 | 1,22 | 1,79 |
40 | 1,44 | 1,54 | 1,39 | 1,60 | 1,34 | 1,66 | 1,29 | 1,72 | 1,23 | 1,79 |
45 | 1,48 | 1,57 | 1,43 | 1,62 | 1,38 | 1,67 | 1,34 | 1,72 | 1,29 | 1,78 |
50 | 1,50 | 1,59 | 1,46 | 1,63 | 1,42 | 1,67 | 1,38 | 1,72 | 1,34 | 1,77 |
55 | 1,53 | 1,60 | 1,49 | 1,64 | 1,45 | 1,68 | 1,41 | 1,72 | 1,38 | 1,77 |
60 | 1,55 | 1,62 | 1,51 | 1,65 | 1,48 | 1,69 | 1,44 | 1,73 | 1,41 | 1,77 |
65 | 1,57 | 1,63 | 1,54 | 1,66 | 1,50 | 1,70 | 1,47 | 1,73 | 1,44 | 1,77 |
70 | 1,58 | 1,64 | 1,55 | 1,67 | 1,52 | 1,70 | 1,49 | 1,74 | 1,46 | 1,77 |
75 | 1,60 | 1,65 | 1,57 | 1,68 | 1,54 | 1,71 | 1,51 | 1,74 | 1,49 | 1,77 |
80 | 1,61 | 1,66 | 1,59 | 1,69 | 1,56 | 1,72 | 1,53 | 1,74 | 1,51 | 1,77 |
85 | 1,62 | 1,67 | 1,60 | 1,70 | 1,57 | 1,72 | 1,55 | 1,75 | 1,52 | 1,77 |
90 | 1,63 | 1,68 | 1,61 | 1,70 | 1,59 | 1,73 | 1,57 | 1,75 | 1,54 | 1,78 |
95 | 1,64 | 1,69 | 1,62 | 1,71 | 1,60 | 1,73 | 1,58 | 1,75 | 1,56 | 1,78 |
100 | 1,65 | 1,69 | 1,63 | 1,72 | 1,61 | 1,74 | 1,59 | 1,76 | 1,57 | 1,78 |
Окончание табл.
Статистика Дарбина-Уотсона: dL и dU (уровень значимости 5%) | ||||||||||
n | k=1 | k=2 | k=3 | k=4 | k=5 | |||||
d L | d U | d L | d U | d L | d U | d L | d U | d L | d U | |
15 | 0,81 | 1,07 | 0,70 | 1,25 | 0,59 | 1,46 | 0,49 | 1,70 | 0,39 | 1,96 |
16 | 0,84 | 1,09 | 0,74 | 1,25 | 0,63 | 1,44 | 0,53 | 1,66 | 0,44 | 1,90 |
17 | 0,87 | 1,10 | 0,77 | 1,25 | 0,67 | 1,43 | 0,57 | 1,63 | 0,48 | 1,85 |
18 | 0,90 | 1,12 | 0,80 | 1,26 | 0,71 | 1,42 | 0,61 | 1,60 | 0,52 | 1,80 |
19 | 0,93 | 1,13 | 0,83 | 1,26 | 0,74 | 1,41 | 0,65 | 1,58 | 0,56 | 1,77 |
20 | 0,95 | 1,15 | 0,86 | 1,27 | 0,77 | 1,41 | 0,68 | 1,57 | 0,60 | 1,74 |
21 | 0,97 | 1,16 | 0,89 | 1,27 | 0,80 | 1,41 | 0,72 | 1,55 | 0,63 | 1,71 |
22 | 1,00 | 1,17 | 0,91 | 1,28 | 0,83 | 1,40 | 0,75 | 1,54 | 0,66 | 1,69 |
23 | 1,02 | 1,19 | 0,94 | 1,29 | 0,86 | 1,40 | 0,77 | 1,53 | 0,70 | 1,67 |
24 | 1,04 | 1,20 | 0,96 | 1,30 | 0,88 | 1,41 | 0,80 | 1,53 | 0,72 | 1,66 |
25 | 1,05 | 1,21 | 0,98 | 1,30 | 0,90 | 1,41 | 0,83 | 1,52 | 0,75 | 1,65 |
26 | 1,07 | 1,22 | 1,00 | 1,31 | 0,93 | 1,41 | 0,85 | 1,52 | 0,78 | 1,64 |
27 | 1,09 | 1,23 | 1,02 | 1,32 | 0,95 | 1,41 | 0,88 | 1,51 | 0,81 | 1,63 |
28 | 1.10 | 1,24 | 1,04 | 1,32 | 0,97 | 1,41 | 0,90 | 1,51 | 0,83 | 1,62 |
29 | 1,12 | 1,25 | 1,05 | 1,33 | 0,99 | 1,42 | 0,92 | 1,51 | 0,85 | 1,61 |
30 | 1,13 | 1,26 | 1,07 | 1,34 | 1,01 | 1,42 | 0,94 | 1,51 | 0,88 | 1,61 |
31 | 1,15 | 1,27 | 1,08 | 1,34 | 1,02 | 1,42 | 0,96 | 1,51 | 0.90 | 1,60 |
32 | 1,16 | 1,28 | 1,10 | 1,35 | 1,04 | 1,43 | 0,98 | 1,51 | 0,92 | 1,60 |
33 | 1,17 | 1,29 | 1,11 | 1,36 | 1,05 | 1,43 | 1,00 | 1,51 | 0,94 | 1,59 |
34 | 1,18 | 1,30 | 1,13 | 1,36 | 1,07 | 1,43 | 1,01 | 1,51 | 0,95 | 1,59 |
35 | 1,19 | 1,31 | 1,14 | 1,37 | 1,08 | 1,44 | 1,03 | 1,51 | 0,97 | 1,59 |
36 | 1,21 | 1,32 | 1,15 | 1,38 | 1,10 | 1,44 | 1,04 | 1,51 | 0,99 | 1,59 |
37 | 1,22 | 1,32 | 1,16 | 1,38 | 1,11 | 1,45 | 1,06 | 1,51 | 1,00 | 1,59 |
38 | 1,23 | 1,33 | 1,18 | 1,39 | 1,12 | 1,45 | 1,07 | 1,52 | 1,02 | 1,58 |
39 | 1,24 | 1,34 | 1,19 | 1,39 | 1,14 | 1,45 | 1,09 | 1,52 | 1,03 | 1,58 |
40 | 1,25 | 1,34 | 1,20 | 1,40 | 1,15 | 1,46 | 1,10 | 1,52 | 1,05 | 1,58 |
45 | 1,29 | 1,38 | 1,24 | 1,42 | 1,20 | 1,48 | 1,16 | 1,53 | 1,11 | 1,58 |
50 | 1,32 | 1,40 | 1,28 | 1,45 | 1,24 | 1,49 | 1,20 | 1,54 | 1,16 | 1,59 |
55 | 1,36 | 1,43 | 1,32 | 1,47 | 1,28 | 1,51 | 1,25 | 1,55 | 1,21 | 1,59 |
60 | 1,38 | 1,45 | 1,35 | 1,48 | 1,32 | 1,52 | 1,28 | 1,56 | 1,25 | 1,60 |
65 | 1,41 | 1,47 | 1,38 | 1,50 | 1,35 | 1,53 | 1,31 | 1,57 | 1,28 | 1,61 |
70 | 1,43 | 1,49 | 1,40 | 1,52 | 1,37 | 1,55 | 1,34 | 1,58 | 1,31 | 1,61 |
75 | 1,45 | 1,50 | 1,42 | 1,53 | 1,39 | 1,56 | 1,37 | 1,59 | 1,34 | 1,62 |
80 | 1,47 | 1,52 | 1,44 | 1,54 | 1,42 | 1,57 | 1,39 | 1,60 | 1,36 | 1,62 |
85 | 1,48 | 1,53 | 1,46 | 1,55 | 1,43 | 1,58 | 1,41 | 1,60 | 1,39 | 1,63 |
90 | 1,50 | 1,54 | 1,47 | 1,56 | 1,45 | 1,59 | 1,43 | 1,61 | 1,41 | 1,64 |
95 | 1,51 | 1,55 | 1,49 | 1,57 | 1,47 | 1,60 | 1,45 | 1,62 | 1,42 | 1,64 |
100 | 1,52 | 1,56 | 1,50 | 1,58 | 1,48 | 1,60 | 1,46 | 1,63 | 1,44 | 1,65 |
|
|