2018-02-14
333
линии. Сущность этого метода заключается в том, что отыскивается
аналитическая формула кривой, которая наиболее точно отражает основную
тенденцию изменения уровней в течение периода. Эффективность
выравнивания по данному способу во многом зависит от правильности выбора
математического уравнения, которое наиболее точно может проявить
присущую ряду тенденцию.
При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно
изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция
времени:
~ tfy
t
=
()
.
17 Расчет параметров функции обычно производится методом
наименьших квадратов, сущность которого заключается в том, что сумма
квадратов отклонений фактических уровней от теоретических была бы
минимальной:
∑
(yy ti
- ~)
2
→ min
.
Если в динамическом ряду наблюдается постоянный абсолютный
прирост или снижение, то осуществляют выравнивание по прямой линии по
уравнению:
~ tbay
t
=
+ ∙.
Если уровень ряда изменяется неравномерно, а с определенным
|
|
|
ускорением, то выравнивание проводят по уравнению параболы второго
порядка:
~ tctbay
t
= + ∙ + ∙ 2
,
где
~ y
t
– теоретический уровень ряда, рассчитанный по уравнению;
а – уровень ряда, принятый за базу отсчета;
b – среднегодовой абсолютный прирост в теоретическом или
выровненном ряду;
t – порядковый номер периодов или моментов времени;
с – ускорение.
Основанием для выбора вида кривой является содержательный
теоретико-экономический анализ сущности развития данного явления. На
практике для выбора уравнения прибегают к анализу графического
изображения уровней динамического ряда.
Рассмотрим применение способа наименьших квадратов на
конкретном примере.
Из расположения точек кривой на рисунке 2 видно, что уровень
себестоимости 1 ц зерна изменяется по годам более менее равномерно,
поэтому для установления основной тенденции динамики можно использовать уравнение прямой линии: ~
tbay
t
=
+ ∙.
18 Для определения параметров данного уравнения а и b необходимо
решить систему двух нормальных уравнений:
an + bΣt = Σy,
aΣt + bΣt2 = Σyt;
Так как значение t – обозначение времени и может принимать любые
произвольные значения, то ему можно задать такие значения, чтобы сумма t
была равной нулю. Тогда система нормальных уравнений значительно
упрощается и принимает вид
(Применим способ расчета фактора времени, таким образом, при котором
∑t=0. В статистике этот способ отсчета называется расчет от условного нуля, то
есть при нечетном числе уровней (как у нас) ряда динамики находится середина
ряда и этому значению t придаем значение, равное 0. Тогда ряд делится на два
|
|
|
уровня. Отсчет от условного 0 проводим следующим образом: вниз t=1,2,3...,
вверх t=-1,-2,-3...)
an = Σy, bΣt2 = Σyt;
Решение данной системы сводится к определению значения параметров
а и b по формулам:
a
=
Σ
n
y
,
b =
Σ
yt ∑
t
2
где n – число уровней ряда.
В целях анализа ряда динамики проведем аналитическое выравнивание
способом наименьших квадратов.
Исходные данные и расчетные величины представлены в таблице 3.
19 Таблица 3 – Динамика посевной площади зерновых культур в
Орловской области
Годы
Посевная площадь зерновых культур, тыс. га
Аналитическое выравнивание по уравнению прямой линии
t t
2
ty
i ~ y
)(t
-
~
t
⎛ y
i
-
~ y
t
│ ⎠ 2 А 1 2 3 4 5 6 7
2003 641,6 -4 16,0 -2566,4 650,1 8,5 72,2
2004 711,8 -3 9,0 -2135,4 666,2 45,6 2079,9
2005 717,8 -2 4,0 -1435,6 682,3 35,5 1260,8
2006 640,2 -1 1,0 -640,2 698,4 58,2 3386,1
2007 629,4 0 0,0 0,0 714,5 85,1 7240,1
2008 746,9 1 1,0 746,9 730,6 16,3 266,1
2009 796,2 2 4,0 1592,4 746,7 49,5 2451,7
2010 781,8 3 9,0 2345,4 762,8 19,0 361,6
2011 764,7 4 16,0 3058,8 778,9 14,2 201,1
Итого 6430,4 0 60,0 965,9 6430,4 331,9 17319,7
Рассчитаем параметры уравнения:
a =
y
i
y
│ ⎝
⎞
6430,4 9
= 714,49
тыс. га
b =
965,9 60
= 16,1
тыс. га
Уравнение тренда имеет вид:
y t
= 714,49 + 16,1
∙
t
За период с 2003 г. по 2011 г. размер посевной площади зерновых
культур в Орловской области ежегодно увеличивается в среднем на 16,1 тыс.
га. Средняя себестоимость за изучаемый период составила 714,49 тыс. га.
Подставим в уравнение тренда значения t для каждого года и
осуществим расчет теоретической посевной площади зерна. Например, в 2003
году теоретическая себестоимость равна
y t
= 714,49 + 16,1 ∙ (- 4) =
650,1
тыс. га
Рисунок 2 – Фактический и выровненный уровни посевной площади
зерновых культур в Орловской области
В статистике для измерения колеблемости динамического ряда
разработана система показателей:
1. амплитуда или размах колебаний:
R
(t)
= y
max
– y
min
,
где y
max
, y
min
– наибольшее и наименьшее значения изучаемого признака.
R
(t)
= 796,2 – 629,4 = 166,8 тыс. га
Таким образом, в Орловской области разница между максимальным и
минимальным размером посевной площади зерновых культур в период с 2003
г. по 2011 г. составила 166,8 тыс. га.
2. среднее линейное отклонение:
~
pn
,
где
i
l
=
∑
yy
- ti
-
y – фактический уровень,
20 Изобразим теоретическую посевную площадь, рассчитанную по
уравнению тренда, графически на рисунке 2.
Выравнивание размера посевной площади зерновых культур по
уравнению прямой линии показывает тенденцию увеличения за последние 9
лет.
21 ~ y
t
– теоретический уровень,
n – число уровней,
p – число параметров уравнения тренда.
l = 331,9
9 -
2
=
47,42
тыс. га
В период с 2003 г. по 2011 г. размер посевной площади зерна в
Орловской области отклоняется от уровня тренда в среднем на 47,42 тыс. га.
3. среднее квадратическое отклонение:
δ =
∑ (yy
i
-
~
) pn -
2 t.
δ = 17319,7
9 -
2
==
49,74
тыс. га
Оно показывает, что в размер посевной площади зерновых культур в
отчетном периоде отклонялся от теоретического уровня в среднем на 49, 74
тыс. га.
4. коэффициент колеблемости:
ν
=
δ у ∙ %100 ν = 714,49
49,74
∙ 100% =
6,96%
Профессор М.М. Юзбашев рекомендует оценивать колеблемость таким
образом: слабой, если ≤ν %10; умеренной, если ≤ν %20; сильной, если %20 ≤ν ≤ %40; очень сильной, если >ν %40.
Следовательно, колебания посевной площади зерна в Орловской
области являются слабыми и составляют 6,96% среднего многолетнего
уровня. То есть ежегодно размер посевной площади зерновых культур
отклоняется от среднего многолетнего уровня в среднем на 6,96 %.
Изучение динамики посевной площади может быть дополнено
расчетами показателей устойчивости.
Понятие «устойчивость» используется в различных смыслах:
22 1) устойчивость как категория, противоположная колеблемости;
2) устойчивость направленности изменений, то есть устойчивость
|
|
|
тенденции.
В первом понимании показатель устойчивости характеризует близость
фактических уровней к тренду и совершенно не зависит от показателей
последнего. Этот показатель устойчивости не выражает эволюции уровней.
Коэффициент устойчивости определяется по формуле:
К уст
=1
ν-,
К
уст
= 1 – 0,07 = 0,93.
В среднем в виду ежегодной колеблемости посевной площади зерна
обеспечивается 93% посевной площади, рассчитанной по тренду.
Устойчивость во втором смысле характеризует не сами по себе уровни, а
процесс их направленного изменения. С этой точки зрения полной
устойчивостью направленного изменения уровней динамического ряда
следует считать такое изменение, в процессе которого каждый следующий
уровень либо выше всех предшествующих (устойчивый рост), либо ниже всех
предшествующих (устойчивое снижение). В качестве показателя устойчивости
