Примеры решения задач к контрольной работе №3

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения на . Получим

Полученное уравнение имеет вид , где и . Правая часть уравнения является функцией одной переменной, следовательно, решаемое уравнение - однородное. Сделаем замену , тогда и уравнение принимает вид , где -новая неизвестная функция. Осталось решить уравнение или

Правая часть этого уравнения представляет собой произведение двух функций и зависит только от , -только от , это уравнение с разделяющимися переменными. Для его решения разделим переменные. Умножая уравнение на и деля на , получим . Интегрируя последнее равенство, найдем (произвольную постоянную можно обозначить не , а ). Тогда , т.е.

; .

Возвращаясь к исходной неизвестной функции, имеем .

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Разделим уравнение на Получим уравнение вида , где т.е. линейное уравнение первого порядка. Будем его решать методом Бернулли, т.е. искать решение в виде , где подлежат определению. Поскольку , то уравнение принимает вид

В качестве возьмем любую функцию, обращающую в ноль сомножитель при , т. е. частное решение уравнения Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому, умножая его на и деля на , получим

т. е. . Следовательно, (произвольная постоянная не добавляется, так как берется частное решение).

Поставим найденное v в исходное уравнения, тогда второе слагаемое в правой части обратится в ноль, и для получим уравнение

; .

Отсюда, используя формулу интегрирования по частям, найдем

Возвращаясь к исходной неизвестной функции , находим решение:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Уравнение имеет вид где , т.е. это уравнение Бернулли. Решение уравнения будем искать в виде . Поскольку , то уравнение примет вид

Возьмем в качестве любую функцию, обращающую в ноль второе слагаемое левой части, т.е. частное решение уравнения . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его решение имеет вид Подставляя найденное в исходное уравнение, получим

Опять получили уравнение с разделяющимися переменными, решение которого

Возвращаясь к исходной неизвестной функции , находим решение

Некоторые типы уравнений второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка. К ним относятся:

1) Уравнения вида , которые не содержат явным образом . Обозначим производную через т.е.

Тогда

Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка.

2) Уравнения вида , которые не содержат явным образом .

Положим и, так как то для определения производной применим правило дифференцирования сложной функции

Подставляя выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Вводим новую функцию , , тогда . Подставив ее в уравнение, имеем

Это линейное уравнение первого порядка относительно и его решение разыскиваем в виде произведения

Учитывая требования , , находим функцию : подставляем в уравнение для определения

Отсюда

Таким образом, , и можно найти функцию y

Пример 5. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Уравнение не содержит явным образом . Следовательно, допускается понижение порядка. Обозначим

Тогда .

Получим уравнение с разделяющимися переменными , интегрируя которое, находим или

Откуда

Решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и непрерывной правой частью вида

(1)

ищется в виде суммы , где -частное решение исходного уравнения (1), а -общее решение соответствующего однородного уравнения

. (2)

Вид общего решения определяется корнями характеристического уравнения. Вид частного решения - видом правой части уравнения (1).

1) Пусть (3)

где - многочлен -ой степени. Тогда существует частное решение вида , где , а принимает одно из трех возможных значений 0, 1, 2:

2) Пусть правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде

(4)

где и степени многочленов и . Тогда существует частное решение вида

(5)

где , -полные многочлены степени , а принимает одно из двух значений 0 или 1:

Если правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде суммы функций (3), (4), т. е. , то частное решение уравнения ищется в виде суммы , где -частное решение уравнения , а -частное решение уравнения .

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Общее решение уравнения имеет вид , где -общее решение однородного уравнения . Составляем и решаем характеристическое уравнение

-частное решение исходного уравнения, которое определяем по виду правой части Здесь следовательно

Для определения коэффициентов А и В нужно решение и его производные подставить в исходное уравнение. Для этого умножаем соответственно на , и (коэффициенты уравнения) и складываем. Затем приравниваем коэффициенты при в одинаковых степенях, представив правую часть уравнения в виде

Решая полученную систему, найдем , . Следовательно,

Общее решение заданного уравнения имеет вид

Система дифференциальных уравнений вида

где , , …, - неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , , …, , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Иногда, нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению -го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).

Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

Пример 7. Найти общее системы дифференциальных уравнений

Решение. Продифференцируем по первое уравнение: . Подставляя сюда выражения и из системы, получим

или имеем . Характеристическое уравнение

имеет корни . Следовательно, общее решение для запишется в виде

Общее решение для находим из первого уравнения:

Пример 8. Найти общее системы дифференциальных уравнений

Решение. Продифференцируем по первое уравнение: . Исключая из полученного уравнения , имеем . Еще раз продифференцируем по полученное уравнение второго порядка: . Исключая , получим

т.е. мы пришли к уравнению с одной неизвестной функцией. Решив это линейное однородное уравнение третьего порядка, получим

Общее уравнение для получим из первого уравнения системы:

или

Из второго уравнения системы найдем :

Пример 9. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Рассматривая, как постоянную величину, получим

Аналогично, рассматривая как постоянную величину, получим

Так же находим и производные второго порядка

Пример 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Решение. Указанная область есть треугольник АВС (рис.1). Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке, или на границе области.

-1 -3

-1

-3

Рис. 1

Найдем стационарные точки из условия В нашем случае

Решая систему уравнений, получим . Точка является стационарной. Находим Исследуем функцию на границах. На линии : , . Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [-3,0].

- стационарная точка функции одной переменной. Вычисляем

На линии : ; - cтационарная точка. Вычисляем

На линии : и ; -стационарная точка,

Сопоставляя все полученные значения функции , заключаем, что в точках и С (0;-3), в точке .

Пример 11. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) grad z в т. ; 2) производную в точке по направлению вектора

Решение. 1) Градиент функции имеет вид

grad .

Вычисляем частные производные в точке

Таким образом, grad z

2) Производная по направлению вектора , определяется по формуле

где - угол, образованный вектором с осью . Тогда

Используя значения производных в точке , найденные ранее, получим

Пример 12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение. Если область определена неравенствами

то объем тела находится по формуле

Для определения пределов интегрирования сделаем чертеж данного тела и его проекции на плоскость XOY (рис 2а и 2б).

Следует обратить внимание на то, что для переменной x границами являются наибольшее и наименьшее значения в заданной области, т.е. .

Рис. 2а

Переменная y является функцией переменной x. На рисунке видно, что область D ограничена снизу кривой , а сверху – кривой . Следовательно, .

Рис.2б

Аналогично, из рисунка тела видно, что оно снизу ограничено плоскостью , а сверху поверхностью . Таким образом, переменная z является функцией двух переменных x и y, и

Пример 13. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

и расположенного в первом октанте

Решение. Данное тело ограничено сверху параболоидом . Область интегрирования - круговой сектор, ограниченный дугой окружностью , являющейся линией пересечения параболоида с плоскостью , и прямыми и . Следовательно,

Поскольку областью интегрирования является часть круга, а подынтегральная функция зависит от , целесообразно перейти к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат , к полярным координатам , связанным с прямоугольными координатами соотношениями , , осуществляется по формуле

Уравнение окружности в этих координатах примет вид , подынтегральная функция равна , а пределы интегрирования по определяем из уравнений прямых: , т.е. ; , т.е. . Таким образом, имеем

Пример 14. Вычислить криволинейный интеграл вдоль 1) ломаной от точки до точки , где ;2) дуги эллипса

Решение. Пусть кривая L задана уравнениями в параметрической форме . Пусть точкам M и P этой кривой соответствуют значения параметра t соответственно. Тогда Если кривая задана уравнением , причем точке M соответствует , а точке P - , то

1) Криволинейный интеграл вдоль ломаной L можно разбить на сумму двух интегралов: вдоль отрезков AB и BC. Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B