Основні поняття та визначення

ВСТУП

Свідоме використання мікроорганізмів в технології і техніці почалося зовсім нещодавно. З класичних досліджень Пастера, який був засновником не тільки медичної, а й технічної мікробіології. Цей період складає трохи більше 150 років. Одним з характерним моментів у розвитку мікробіології за останні 30 – 50 років є створення самостійної за технологічною ознакою мікробіологічної галузі промисловості.

Перед нею стоять складні задачі по розвитку виробництв кормових добавок, ферментних препаратів, антибіотиків, вітамінів та інше. Це вимагає подальшого підвищення ефективності виробництва, розширення переліку і якості продукції на базі прискореного розвитку технічного прогресу.

Промислова мікробіологія розвивається на базі хімічної технології і має з нею однакові принципи створення апаратурного оформлення.

Важливу роль в біологічних системах відіграють тепло- і масопередача через поверхні розділу фаз. Як правило, ці процеси відповідають класичним законам за деякими винятками. Наприклад, нирка людини виділяє сечовину з концентрацією, яка перевищує приблизно в 130 разів концентрацію цієї сполуки у крові, тобто нирка екстрагує сечовину проти градієнта концентрації. Таке становище підтримується протягом всього життя людини.

Вивчення процесів і апаратів здійснюється на основі феноменологічного методу, за яким структура речовини не є фізичною системою, яка складається з дискретних часток, а є суцільною речовиною.

Такий підхід правомірний, якщо розміри об’єкту досліджування достатньо великі у порівнянні з відстанями ефективної міжмолекулярної взаємодії. Феноменологічний метод досліджування дає змогу встановити деякі загальні співвідношення між параметрами, що характеризують розглянуте явище в цілому.

Феноменологічні закони носять вельми загальний характер, а роль конкретної фізичної величини визначається або враховується коефіцієнт отриманий безпосередньо з дослідів.

Курс включає:

§ теплові процеси;

§ гідромеханічні процеси;

§ масообмінні процеси;

ЧАСТИНА 1

Основні поняття та визначення

Процес переносу енергії у вигляді тепла між тілами, які мають різну температуру називається теплообміном. Рушійною силою процесу теплообміну є різниця температур t^°. При цьому перенос енергії здійснюється 3-ма способами:

- теплопровідністю;

- конвекцією;

- випромінюванням.

Теплопровідність – це перенос тепла в результаті взаємодії мікрочастинок (вільні електрони, молекули рідин або газів і атоми в кристалічних решітках твердих тіл) і обміну енергією між ними.

Конвекція – це перенос тепла в наслідок переносу об’ємів рідини або газу з області з однією температурою в область з іншою температурою.

Теплове випромінювання – це перенос тепла за допомогою електромагнітних хвиль, які випромінюються одним із середовищ і поглинаються іншим середовищем.

Температурне поле – це сукупність значень температур в різних точках розглядаємого простору в даний момент часу.

Математично температурне поле задається у вигляді функцій координат і часу.

. (1)

Температурне поле - це скалярне поле. Розрізняють стаціонарні та нестаціонарні температурні поля.

Рисунок 1. Схема визначення градієнту температур

Рівняння (1) це найбільш загальний запис температурного поля. Коли температура змінюється з часом у просторі, то таке поле має назву нестаціонарного температурного поля. Якщо тепловий режим сталий то температура в кожній точці поля зі зміною часу залишається незмінною і таке температурне поле є стаціонарним.

; . (2)

Сукупність точок, які мають однакову температуру називається ізотермічною поверхнею.

Інтенсивність температурних полів може оцінюватись градієнтом температур

. (3)

Градієнт температури – це границя відношення зміни температури до відстані між двома ізотермічними поверхнями вздовж нормалі .

grad t – завжди направлений в сторону збільшення температури і є векторною величиною;

одиничний вектор, нормальний до ізотермічної поверхні і направлений у сторону зростання температури;

похідна від температури по нормалі .

Необхідною умовою розповсюдження теплоти є нерівномірність розподілу температури в розглядаємому середовищі. Таким чином для передачі теплоти необхідна нерівність нулю температурного градієнту в різних точках середовища. Кількість теплоти, яка проходить за одиницю часу через одиницю площі ізотермічної поверхні, називається питомим тепловим потоком q:

. (4)

Тепловий потік q – є вектор направлений у сторону зменшення температури. Між питомим тепловим потоком і градієнтом температур існує співвідношення:

, (5)

яке носить назву – закон Фур’є або основний закон теплопровідності, який формулюється таким чином: теплова енергія, передана крізь одиницю площі ізотермічної поверхні протягом одиниці часу пропорційна градієнту температури:

. (6)

Знак “ – “ у попередньому виразі показує, що вектор q і направлені протилежно. Коефіцієнт пропорційності l, називається коефіцієнтом теплопровідності.

Теплопровідність є фізичною властивістю речовини і залежить від густини, пористості, температури речовини і т.д.

З рівняння (5) видно, що коефіцієнт теплопровідності є питомим тепловим потоком віднесеним до одиничного grad t. Отже коефіцієнт теплопровідності дорівнює кількості теплоти, яка проходить за одиницю часу через одиницю ізотермічної поверхні при температурному градієнті рівному одиниці.

При звичайних температурах і тисках кращими провідниками тепла є метали і гіршими – гази. Так, орієнтуюче значення l (Вт/(м×К)) для металів при 0^° С складають:

· для чистої міді – 394;

· для вуглеводистої сталі Ст 3 – 52; і т.д.

· для повітря при 0^°С l – 0.027 Вт/(м К).

Важливим процесом є процес перенесення тепла від твердої поверхні до рідини, що омиває цю поверхню або навпаки. Цей процес називається тепловіддачею.

Рисунок 2. Схема процесу тепловіддачі

Кількість теплоти що переноситься у процесі пропорційна різниці температур t_с (стінки) і t_р (рідини).

, (7)

де a- коефіцієнт тепловіддачі.

(7) – залежність Ньютона - Ріхмана,

При цьому слід відмітити, що в наслідок прилипання частинок рідини до поверхні стінок біля неї утворюється тонкий рідкий шар в якому швидкість рідини близька до нуля і тепло передається тільки за рахунок теплопровідності, тоді для межі розділу запишемо наступне рівняння:

, (8)

де l_р і l_т – це теплопровідності рідини і твердої стінки відповідно.

Коефіцієнт пропорційності a називається коефіцієнтом тепловіддачі і чисельно дорівнює питомому тепловому потоку, який віддається рідині або навпаки віднесений до різниці температур рівній одиниці. Отже, a показує, яка кількість тепла передається від одиниці площі поверхні стінки до рідини (або навпаки) за одиницю часу при різниці температур рівній одиниці.

Коефіцієнт a не є фізичною властивістю рідини, так як окрім властивостей рідини залежить від ряду зовнішніх факторів (шорсткості стінки, турбулентності потоку).

Рівняння (8) дозволяє визначити коефіцієнт тепловіддачі, якщо відома функція, що описує температурне поле. Для знаходження цієї функції використаємо основні фізичні закони: закон збереження енергії, закон збереження кількості руху і закон збереження маси. Далі буде розглянемо математичне формулювання цих законів.

2. Математична модель конвективного теплообміну

Вивчення будь-якого фізичного явища зводиться до встановлення залежності між величинами, які характеризують це явище. Для складних фізичних процесів в яких визначаємі величини можуть суттєво змінюватись у просторі і часі встановити залежність між ними дуже складно. У цих випадках на допомогу приходить метод математичної фізики, який виходить з того, що обмежується проміжок часу і з усього простору розглядаємо лише елементарний об’єм, це дозволяє в межах елементарного об’єму і вибраного малого проміжку часу знехтувати зміною деяких величин, характеризуючих процес і суттєво спростити залежність. Вибраний таким чином елементарний об’єм dV і елементарний проміжок часу dt в межах якого розглядаємо вивчаємий процес, з математичної точки зору є величини нескінченно малі, а з фізичної точки зору – достатньо великими, щоб в їх межах можна було ігнорувати дискретну будову середовища, отже, розглядаємо його, як суцільне середовище. Отримана таким чином залежність є загальним диференційним рівнянням процесу.

Інтегруючи диференційне рівняння можна отримати аналітичну залежність для всієї області інтегрування і всього розглядаємого проміжку часу. Для полегшення виведення диференційного рівняння зробимо наступні припущення:

- тіло однорідне і ізотропне;

- фізичні параметри постійні;

- деформація розглядаємого об’єму, яка пов’язана зі зміною температури дуже мала у порівнянні з самим об’ємом C_v=C_p;

- внутрішні джерела теплоти у тілі, які в загальному випадку можуть бути задані у такому вигляді q_v=f (x,y,z,t), розподіляються рівномірно.

Поняття конвективного теплообміну охоплює процес теплообміну при русі рідини або газу. При цьому перенос тепла здійснюється одночасно конвекцією і теплопровідністю.

Під конвекцією теплоти розуміють перенос теплоти при переміщенні макрочастинок рідини або газу у просторі із області з однією температурою в область з іншою температурою. Конвекція можлива тільки в текучому середовищі, в якому перенос теплоти нерозривно пов’язаний з переносом самого середовища.

2.1. Рівняння енергії

Рівняння енергії відображає закон збереження енергії, відповідно якому зміна внутрішньої енергії елементарного об’єму середовища dQ дорівнює сумі енергій, яка підводиться теплопровідністю та конвекцією dQ₁, внутрішніх джерел dQ₂ та енергія,яка виділяється внаслідок внутрішнього тертя частинок рідини при її русі (енергія дисипації) dQ₃.

Рисунок 3. До виведення рівняння енергії

dQ=dQ₁+dQ₂+dQ₃. (9)

Виділимо в середовищі, що рухається нерухомий елемент (Рисунок 3) – паралелепіпед зі сторонами dx, dy, dz. Паралелепіпед розташований таким чином, що його грані паралельні відповідним координатним площинам. Далі розглянемо доданки попереднього рівняння. Сумарна кількість енергії, яка підведена шляхом теплопровідності і конвекції через кожну із трьох граней паралелепіпеду рівна:

dQ₁=dQ_x+dQ_y+dQ_z. (10)

В проекції на вісь ОХ маємо:

- кількість енергії підведеної до граней елементарного об’єму за час dt у напрямку вісі ОХ;

- кількість енергії, яка буде відводитись через протилежні грані у напрямку вісі ОХ.

Так як,

(11)

Для вісі ОХ маємо,

Так як функція є суцільною і неперервною в розглядаємому інтервалі dx то може бути розкладена в ряд Тейлора:

Аналогічно отримаємо подібні вирази для вісей ОУ та ОZ.

Складаючи одержимо:

. (12)

Тепловий потік є сумою теплових потоків, які отримуються за рахунок теплопровідності та конвекції. Для вісі ОХ маємо:

. (13)

Теплоємність при постійному об’ємі рівна теплоємності при постійному тиску ,

де - складова швидкості у напрямку вісі ОХ;

r - густина речовини;

- теплоємність при постійному об’ємі.

Після диференціювання маємо:

. (14)

Аналогічно отримаємо вирази для і .

Додаючи це все отримаємо:

(15)

Зміна енергії внутрішніх джерел

, (16)

де q_v - питома енергія внутрішніх джерел.

Розглянемо рух рідини між нерухомою і рухомою пластинами внаслідок прилипання рідини до стінок швидкість її змінюється від нуля до швидкості W_x. Завдяки зміні швидкості відбувається зрушення шарів рідини один віднсно іншого, внаслідок чого виділяється теплота дисипації. Кількість цієї теплоти пропорційна градієнту швидкості зрушення.

Розглянемо елементарний об’єм рідини на грані, якого діють сили, які можна спроектувати на координатні вісі і розділивши проекції на площину граней отримаємо нормальні і дотичні напруги .

Рисунок 4. До розгляду рівняння енергії

З умови рівноваги сума моментів сил рівна нулю, тому дотичні напруги попарно рівні. Розглянемо добуток напруги на градієнт швидкості у напрямку дії цієї напруги. Отже, цей добуток являє собою енергію дисипації, викликану швидкістю зрушення в одиниці об’єму рідини. Виходячи з цього, сумарна енергій дисипації дорівнює:

(17)

Зміна внутрішньої енергії в елементарному об’ємі за час dt дорівнює:

. (18)

Підставляючи (15),(16),(17),(18) у (8) і отримаємо наступне рівняння:

(19)

Це рівняння відображає закон збереження енергії і тому називається рівнянням енергії. Перший його член являє собою зміну енергії в одиниці об’єму у часі. Другий член, відповідно, характеризує, тепло, підведене в одиницю об’єму внаслідок теплопровідності, а третій член - внаслідок конвекції, четвертий член характеризує зміну енергії, яка пов’язана зі стисканням (або розширенням) рідини, а п’ятий—тепло, яке виділяється внаслідок дисипації. В подальшому ми будемо розглядати нестиснені рідини, для яких:

і С_р=С_v=C.

Для багатьох рідин, які зустрічаються у процесах біотехнології можна знехтувати енергією дисипації і внутрішніх джерел, і вважати, що теплофізичні властивості не залежать від температури. Тоді рівняння (19) набуває вигляд:

, (20)

де - коефіцієнт температуропроводності, який має розмірність:

Цей коефіцієнт характеризує теплоінерційні властивості тіла: при інших рівних умовах швидше нагрівається або охолоджується те тіло, яке має більший коефіцієнт температуропроводності. Ліва частина рівняння називається повною або матеріальною похідною. Скорочено рівняння (20) можна записати:

, (21)

де - Лапласіан другого порядку у декартові системі координат.

У рівнянні (20) невідомими є складові швидкості і температура - t. Для знаходження складових швидкості необхідно додати рівняння руху.

2.2. Рівняння руху (Навьє - Стокса)

Рисунок 6. До розгляду рівняння руху

Рівняння руху відображає другий закон Ньютона: зміна кількості руху елемента середовища дорівнює сумі всіх сил, діючих на елемент. Розглянемо виділений в одномірному потоці рідини елемент об’єму , дивись рисунок 6.

На елемент діє сила тяжіння різнична сила тиску , так як на верхній грані елементу тиск рідини дорівнює p, то на площадку діє сила

На нижній грані тиск з точністю до другого члена розкладу в ряд Тейлора дорівнює і на цю грань діє сила .

Знак “ − “ вказує на те, що сила діє проти напрямку руху рідини.

Рівнодіюча сил тертя визначається далі. Так як швидкість змінюється тільки в напрямку вісі ОУ, то сила тертя виникає на бокових гранях елементу рідини. Біля лівої грані швидкість руху частинок рідини менша, ніж у самому елементі, тому у перерізі сила тертя направлена проти руху і рівна . Біля правої грані, навпаки, швидкість руху частинок рідини більша, ніж у самому об’ємі, тому в перерізі сила тертя направлена в сторону руху.

Рівнодіюча всіх цих сил рівна:

. (22)

З іншої сторони, згідно з законом Ньютона ця рівнодіюча сила рівна:

. (23)

Підставляючи цей вираз у (22), отримаємо:

. (24)

Так як швидкість є функцією часу і координат, які в свою чергу залежать від часу, то, застосовуючи правило диференціювання складної функції, отримаємо:

. (25)

До отриманого рівняння необхідно додати рівняння, яке зв’яже виникаючі в рідині при її русі напруги з градієнтом швидкості, (Реологічне рівняння). Для рідин, які підкоряються закону Ньютона, це рівняння має вигляд:

, (26)

де m - коефіцієнт динамічної в’язкості рідини.

Підставивши (26) і (25), отримаємо:

. (27)

Рисунок.7 До розгляду поля швидкості

Коментар:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Стиснення рідин.

Ізотермічним стисненням або коефіцієнтом стиснення тіла при t = const. називають величину , яка являє собою відносну зміну густини речовини при зміні тиску.

Для крапельних рідин ізотермічне стиснення занадто мале. Так, наприклад, для води 1/Па, отже, підвищення тиску на 0,1 МПа викликає відносну зміну густини на 1/2000. Теж саме має місце і для інших крапельних рідин, що дозволяє знехтувати для них ізотермічним стисненням.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Поле швидкостей є полем векторної величини, в якому кожна з проекцій може змінюватись вздовж всіх координатних вісей, рисунок 7. Тому в загальному випадку трьохмірної течії, рівняння руху записується для кожної з проекцій і має вигляд:

(28)

(29) (30)

Ці рівняння називаються рівняннями Навьє-Стокса.

Розмірність кожного доданку Н/м³, тому ці доданки представляють собою сили діючі на одиницю об’єму рідини. При цьому перший член (локальний) рівняння характеризує нестаціонарність процесу, сили зв’язані зі зміною швидкості у часі в даній точці, а другий член – конвек тивний, відповідно, сили зв’язані з переміщенням рідини (сили інерції). Третій член рівняння характеризує сили тяжіння, четвертий – сили тиску (джерело змушеної течії) і п’ятий – сили в’язкості у рідині. Слід зазначити, що рівняння руху записано для нестисненої рідини. У рівнянні руху з’явився новий невідомий – тиск. Для того, щоб замкнути систему рівнянь, необхідно додати ще рівняння нерозривності.

2.3. Рівняння нерозривності

Рівняння нерозривності є математичним записом закону збереження маси. Розглянемо нерухомий об’єм рідини з гранями dx, dy, dz, рисунок 8. Через грань, перпендикулярну вісі Х, поступає

(31)

маси, а виходить

. (32)

Рисунок 8. До розгляду рівняння нерозривності

Залишок маси в об’ємі дорівнює різниці:

(33)

Записавши аналогічно для інших граней, отримаємо сумарний приток маси у елементі об’єму

, (34)

який являє собою зміну густини в елементі об’єму за час

. (35)

Порівнюючи обидва рівняння, отримаємо рівняння нерозривності:

. (36)

Для нестисненої рідини (r=const) маємо:

. (37)

Таким чином, рівняння нерозривності замикає систему рівнянь конвективного теплообміну.

2.4. Математична модель конвективного теплообміну. Умови однозначності

Система рівнянь енергії, руху і нерозривності описує процес конвективного теплообміну і в скороченому записі має вигляд:

; (38)

; (39)

; (40)

; (41)

. (42)

Ця система рівнянь справедлива тільки для ламінарної течії рідини. Турбулентна течія суттєво відрізняється від ламінарної, наявністю пульсацій рідини у поперечному напрямку. Характерна картина пульсації швидкості і температури у розглянутій точці потоку при зміні часу приведена на рисунку 9.

Рисунок 9. До розгляду турбулентної течії

Таким чином, конвективне перенесення механічної і теплової енергії при турбулентному русі рідини, складається з осередненого і пульсаційного переносу, причому, пульсаційні складові залежать від тих же факторів, що й поле осереднених швидкостей і температур. Тому для аналізу також використовують систему рівнянь (38)…(42), в які підставляються осереднені у часі швидкості і температури, а пульсаційні складові враховуються введенням коефіцієнтів турбулентного переносу, які визначаються експериментально.

Приведена система рівнянь описує нескінченну множину процесів. Для її розв’язання у кожному конкретному випадку потрібно додати умови однозначності. Умови однозначності дають математичний опис усіх особливостей явища. Ці умови складаються з:

а) геометричних умов, характеризуючих форму і розміри об’єму, який розглядаємо;

б) фізичних умов, характеризуючих фізичні властивості середовища (в’язкість m, теплопровідність l, густина r і т. д.);

в) початкових умов, характеризуючих поля швидкостей і температур у початковий момент часу;

г) граничних умов, характеризуючих особливості протікання процесу на границі середовища.

При розв’язанні рівнянь гідродинаміки дуже часто використовують умову прилипання, тобто рівність нулю швидкості рідини біля твердої поверхні. При розв’язанні рівняння енергії можуть бути задані наступні граничні умови:

1. Граничні умови першого роду, коли задається значення температури на поверхнях, обмежуючих середовище. Задається розподілення температури на поверхні тіла для кожного моменту часу:

, (43)

де t_п - температура на поверхні тіла;

x,y,z - координати поверхні тіла.

У окремому випадку, коли температура на поверхні є величиною постійною протягом усього часу протікання процесів, то рівняння (43) спрощується і набуває вигляд .

2. Граничні умови другого роду, коли на поверхнях заданий тепловий потік, . У найпростішому випадку .

3. Граничні умови третього роду, у яких припускається, що тепловий потік на поверхнях пропорційний різниці температур поверхні і рідини, тобто характеризує закон теплообміну між поверхнею і навколишнім середовищем у процесі охолодження або нагрівання тіла.

, (44)

де n- нормаль до поверхні тіла;

(гран) - вказує на те, що градієнт відноситься до поверхні тіла (при n=0).

. (45)

4. Граничні умови четвертого роду застосовуються, коли на межі двох середовищ тепло передається теплопровідністю.

. (46)

Таким чином, система рівнянь (38)…(42) разом з умовами однозначності описує конкретні задачі конвективного теплообміну, які можуть вирішуватись аналітично, лічильними методами або методами теорії подібності.

3. Окремі випадки розв’язання математичної

моделі конвективного теплообміну.

Теплопровідність

Розглянемо випадок, коли відсутній рух частинок одна відносно одної, тобто відсутня конвекція. Тоді рівняння руху і нерозривності тотожно рівні нулю, а у рівнянні енергії зникають усі члени, які мають швидкість і воно набуває вигляд:

. (47)

Рівняння (47) називається рівнянням теплопровідності і описує процес перенесення тепла практично тільки у твердих тілах. У рідинах і газах при наявності градієнту температур виникає рух рідини, викликаний різницею густин нагрітих і більш холодних шарів (вільна конвекція).

3.1. Стаціонарна теплопровідність

Стаціонарна теплопровідність характеризується тим, що температура у кожній точці тіла не змінюється з часом .

Так, як , то рівняння (47) набуває вигляд:

. (48)

Отримане рівняння називається диференційним рівнянням теплопровідності у нерухомому середовищі при сталому тепловому режимі.

Розглянемо деякі випадки розв’язання рівняння (48).

3.1.1. Теплопровідність плоскої необмеженої пластини

3. 3.1.1. Граничні умови першого роду

Необмеженою пластиною будемо вважати пластину, яка має розміри у напрямі вісей у і z настільки великі, що тепло передається тільки у напрямку вісі Х рисунок 10.

Температури поверхонь стінки рівні t_c₁ і t_с2, причому Так, як ми розглядаємо сталий процес, то кількість тепла, підведеного до стінки і відведеного від неї, повинні бути рівні між собою і не повинні змінюватись у часі.У рівнянні теплопровідності зникають складові і та воно набуває вигляду:

. (49)

Рисунок 10. До розгляду граничних умов I роду

Для його розв’язання необхідно додати умови однозначності:

· геометричні – задана товщина пластини d,

· фізичні – теплопровідність l відома і не залежить від температури,

· граничні умови – відомі температури стінок t_c₁ і t_c₂.

Інтегруючи двічі рівняння (49) отримаємо

де С₁ і С₂ - константи інтегрування.

Таким чином одержане рівняння показує, що по товщині плоскої стінки температура змінюється прямолінійно.

Константи інтегрування визначаються виходячи з граничних умов

при x=0; t=t_c₁; отже ;

при x=d; t=t_c₂; отже .

Таким чином отримаємо:

. (50)

Питомий тепловий потік згідно закону Фур’є дорівнює:

. (51)

Вираз - називається термічним опором пластини.

Таким чином для безперервного процесу передачі тепла теплопровідністю отримаємо:

. (52)

Рівняння (52) характеризує загальну кількість теплоти Q, яка передається через поверхню стінки F за проміжок часу t.

Якщо плоска стінка складається з n-шарів, які відрізняються один від одного теплопровідністю і товщиною, то при сталому процесі через кожний шар стінки пройде одна й таж кількість теплоти, яка може бути виражена для різноманітних шарів рівняннями:

або ;

; ;

; .

Додавши ліві і праві частини, отримаємо

звідки , (53)

де і - порядковий номер шару стінки.

n - число шарів.

3.1.1.2. Граничні умови третього роду. Теплопередача

Розглянемо випадок, коли пластина з двох сторін омивається рідиною, рисунок 11.

Передача теплоти з одного середовища (рідини або газу) до другого через розділяючу їх однорідну або багатошарову стінку будь-якої форми, називається теплопередачею. Теплопередача включає в себе тепловіддачу від більш гарячої рідини до стінки, теплопровідність у стінці, тепловіддачу від стінки до більш холодного середовища.

Рисунок 11. До розгляду процесу теплопередачі

Нехай плоска однорідна стінка має товщину d. Задані коефіцієнти теплопровідності стінки l, температури навколишнього середовища t_р ₁ і t_р2, а також коефіцієнти тепловіддачі a₁, a₂; будемо вважати, що величини t_р1, t_р2; a₁,a₂ – постійні і не міняються вздовж поверхні. Це дозволяє розглядати зміну температури рідин і стінки тільки у напрямку, перпендикулярному площині стінки.

При заданих умовах необхідно знайти тепловий потік від гарячої рідини до холодної і температури на поверхні стінки.

Питомий тепловий потік від гарячої рідини до стінки визначається рівнянням

При стаціонарному тепловому режимі той же питомий тепловий потік обумовлений теплопровідністю через тверду стінку,

Тепловий потік передається від другої стінки до холодної рідини за рахунок тепловіддачі:

тобто можна записати, що

. (54)

Розв’язуємо систему рівнянь (54) відносно термічних опорів ; ; ;

(55)

Додаючи ліві і праві частини системи і розв’язуючи отриманий вираз відносно q, знаходимо

(56)

Величина називається коефіцієнтом теплопередачі і має розмірність Вт/(м²К). Загальна кількість тепла, яка передана через стінку дорівнює:

. (57)

Рівняння (57) називається основним рівнянням теплопередачі, так як зв’язує теплове навантаження апарату Q з поверхнею теплообміну F.

Коефіцієнт теплопередачі характеризує інтенсивність переносу тепла від одного середовища до іншого через розділяючу стінку і чисельно дорівнює кількості теплової енергії, яка передається від одної рідини до іншої через одиницю поверхні розділяючої стінки, в одиницю часу і при різниці між температурами рідин, рівній одному градусу. Слід відмітити, що коефіцієнт k завжди менше меншого коефіцієнта тепловіддачі, тому для інтенсифікації теплообміну слід збільшувати менший коефіцієнт a.

Величина, обернена коефіцієнту теплопередачі, називається повним термічним опором теплопередачі.

Із системи рівнянь:

(58)

можемо знайти температури стінок:

;

P. S. Для тонких металевих стінок величина d/l дуже мала, тому

(59)

При розв’язання задач відношення і звичайно невідомі і знаходяться методом послідовних наближень.

3.1.2. Теплопровідність необмеженої циліндричної стінки

3.1.2.1. Граничні умови першого роду

Розглянемо стаціонарний процес теплопровідності у циліндричній стінці (трубі) з внутрішнім діаметром D₁=2R₁ і зовнішнім діаметром D₂=2R₂. На поверхнях стінки задані постійні температури t_c₁ і t_c₂. В заданому інтервалі температур коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки l є величиною постійною.

Необхідно знайти розподілення температур у циліндричній стінці і тепловий потік через неї.

Рисунок 12. Розрахункова схема

У даному випадку для тіл обертання задачу зручно розв’язувати у циліндричній системі координат. Рівняння теплопровідності в цьому випадку має вигляд:

. (60)

Розрахункова схема приведена на рисунку 12. Вважаємо, що довжина циліндру достатньо велика і відведенням тепла з торців можна зневажити (), задача стаціонарна () і вісесиметрична (). Тоді рівняння енергії набуває вигляду:

. (61)

Інтегруючи двічі рівняння (61) і визначаючи постійні інтегрування С₁ і С₂, з граничних умов t(R₁)=t_C₁ і t(R₂)=t_C₂, отримаємо рівняння температурного поля у циліндричній стінці

. (62)

P.S. Коментар по знаходженню рівняння температурного поля.

Введемо нову змінну

, (а)

тоді (в)

Підставивши (а), (в) у (61) отримаємо:

(г)

Інтегруючи, отримаємо (д)

Потенціюючи рівняння (д) і переходячи до початкових змінних отримаємо

. (е)

Після інтегрування

знаходимо С₁ і С₂

при r = R₁ t = t_c₁=C₁lnR₁+ C_2;

при r = R₂ t = t_c₂=C₁lnR₂+ C_2;

З вище сказаного

. (ж)

Звідси

. (62)

Кількість тепла Q, яка проходить через стінку труби довжиною , визначається згідно закону Фур’є:

. (63)

Диференціюючи (62) по r і підставляючи отриманий вираз у (63), знаходимо: (вважаючи, що )

. (64)

Питомий тепловий потік, віднесений до одиниці поверхні стінки труби:

(65)

залежить від діаметру, тому більш зручно тепловий потік відносити до одиниці довжини труби:

, [Вт/м] (66)

і називається лінійною густиною теплового потоку. Як бачимо з рівняння, при незмінному відношенні (D₂/D₁) лінійна густина теплового потоку не залежить від поверхні циліндричної стінки. Густина теплового потоку q₁ і q₂ (віднесені до внутрішньої та зовнішньої поверхонь) при передачі теплоти через труби неоднакова, причому q₁>q₂.

Величина називається термічним опором циліндричної стінки.

3.1.2.2. Граничні умови третього роду (теплопередача)

Розглянемо однорідну циліндричну стінку (трубу з постійним коефіцієнтом теплопровідності l). Задані постійні температури рухомих середовищ t_р1 і t_р2 і постійні значення коефіцієнтів тепловіддачі на внутрішній і зовнішній поверхні труби a₁ і a₂ (рисунок 13). Необхідно знайти і . Будемо вважати, що довжина труби велика у порівнянні з товщиною стінки. Тоді втратами теплоти з торців труби можна знехтувати і при сталому тепловому режимі буде проходити через стінку і віддаватись від стінки до холодної рідини одна й та сама кількість теплоти.

Рисунок 13. Розрахункова схема

Розрахункова схема приведена на рисунку 13. Аналогічно, як і для плоскої стінки, можемо записати наступне рівняння:

(67)

Розв’язуючи систему рівнянь відносно термічного опору

і складаючи одержані рівності, знаходимо:

. (68)

Величина називається коефіцієнтом теплопередачі для циліндричної стінки. Слід відмітити, що при розрахунку апаратів для тонкостінних труб можна знехтувати кривизною і коефіцієнт теплопередачі розраховувати по рівнянню для плоскої стінки.

3.2. Нестаціонарна теплопровідність

Такі процеси теплопровідності, коли поле температур в тілі змінюється не тільки у просторі, але і в часі, називаються нестаціонарними. Вони мають місце при нагріванні (охолодженні) різних заготовок і виробів, виробництві скла, обпалі цегли, вулканізації резини, запуску і зупинці різних теплообмінних пристроїв, енергетичних установок і т.д.

Серед практичних задач нестаціонарної теплопровідності важливе значення мають дві групи процесів:

1. тепло прагне до теплової рівноваги;

2. температура тіла періодично змінюється.

Для прикладу, розглянемо процес охолодження необмеженої пластини при граничних умовах третього роду. Розрахункова схема приведена на рисунку14.Припустимо, що задача симетрична (охолодження з обох сторін однакове) і відомі температура рідини t_р і коефіцієнт тепловіддачі a, а в початковий момент температура по всьому об’ємі пластини однакова і рівна t₀. Тепло передається тільки вздовж вісі Х: .

Рисунок 14. Розрахункова схема

Тоді диференційне рівняння енергії набуває вигляд:

. (69)

Відповідно граничні умови:

при , ; (70)

при ; (71)

при . (72)

Умова (72) означає, що в силу симетрії процесу дотична до профілю при х=0 (т. А, рисунок 14) паралельна вісі Х.

Розв’язуючи рівняння (69) при граничних умовах (70)…(72), отримаємо рівняння, котре описує температурне поле пластини:

, (73)

де - безрозмірна температура;

- безрозмірна координата;

безрозмірний час (F₀ - критерій Фур’є);

- корені тригонометричного рівняння: .

Безрозмірний параметр (l - теплопровідність пластини) називається критерієм Біо. Декілька слів про кр. Біо.

Критерій Біо, характеризує подібність процесів нестаціонарної теплопровідності. Коефіцієнт тепловіддачі a, який входить у критерій Ві, не є шуканою величиною, а задається умовами однозначності. Величина l у критерії Ві являє собою коефіцієнт теплопровідності не рідини, а твердого тіла.

Критерій Ві характеризує постійність відношення внутрішнього термічного опору теплопровідності до зовнішнього термічного опору тепловіддачі. Аналіз рішення показує, що всі температурні криві перетинаються у точках віддалених від поверхні пластини на відстань , рисунок 15 а). . Якщо (рисунок 15 б)), що

а) б) в)

Рисунок 15. Температурні криві

має місце при малих a, то і характер кривих наближається до прямих, паралельних вісі Х, превалює зовнішня задача. В цьому випадку створюється можливість інтенсифікації процесу охолодження за рахунок збільшення a. Якщо то (рисунок 15 в). В цьому випадку охолодження настільки інтенсивне , що температура поверхні відразу ж стає рівною температурі рідини і процес охолодження визначається тільки теплопровідністю і розмірами пластини. Інтенсифікація теплообміну на поверхні практично не впливає на швидкість процесу всередині тіла. Далі ми більш детально розглянемо теорію подібності і ознайомимося з іншими критеріями подібності.

Висновки

Під час нестаціонарного теплообміну температурне поле змінюється не тільки в просторі, але і з часом, тобто T = ¦(x,y,z,t).

Метою розрахунку задач нестаціонарного теплообміну є знаходження функції, яка описує температурне поле.

Основними інженерними задачами нестаціонарного теплообміну є пряма (або практична) задача – визначення тривалості процесу нагрівання (або охолодження), коли задано температурний режим, за схемою

T₀(T_c)®Q₀(Q_c) ®Bi®Fo®t.

Зворотна (або перевірочна) задача – визначення температур тіла (у центрі або на поверхні), коли задано тривалість процесу нагрівання (або охолодження), за схемою

t® Fo® Bi®Q₀(Q_c)® T₀(T_c).

4. Конвективний теплообмін

Конвективний теплообмін характерний для рідин і газів. При цьому переміщення тепла здійснюється одночасно конвекцією і теплопровідністю. Потрібно відрізняти вимушену і природну конвекцію. Вимушена конвекція відбувається під дією зовнішніх сил (насосів, вентиляторів і т.д.), у той час, як при природній конвекції рідина рухається внаслідок різниці густин нагрітих і холодних її частинок. При теоретичному вирішенні системи рівнянь конвективного теплообміну часто використовується гіпотеза пограничного шару, згідно якій, внаслідок прилипання рідини біля стінки виникає гальмівний шар малої товщини, швидкість в якому змінюється від нуля до швидкості незбудженого потоку W₀, рисунок 16 а). При турбулентному русі, течія у пограничному шарі на початку ламінарна (область 1, рисунок 16 б), а потім поступово турбулізується (область 2), але біля стінки все одно зберігається в’язкий підшар (область 3), товщина якого залежить від ступеня турбулізації і який являється основним термічним опором, так як тепло через цей шар передається теплопровідністю.

а) б) в)

Рисунок 16. Схема розподілення швидкості і температур у пограничному шарі

Аналогічно гідродинамічному введено поняття теплового пограничного шару, рисунок 16 в), згідно якого температура у цьому шарі змінюється від температури стінки , до температури не збудженого потоку .

Ці гіпотези дозволили ввести ряд спрощень у системі рівнянь, однак аналітичний розв’язок залишається достатньо складним, розв’язання існує для порівняно невеликої кількості окремих випадків. В інженерних розрахунках найбільш часто використовуються експериментальні залежності, отримані на основі теорії подібності.

Ще скажемо декілька слів про фізичні властивості розглядаємих рідин. Найбільший вплив здійснюють коефіцієнт теплопровідності l, питома теплоємність С_р, густина r, коефіцієнт температуропроводності а, коефіцієнт в’язкості m. Для кожної речовини ці величини мають певні значення і є функцією параметрів стану (температури, тиску, насамперед температури). Особливо суттєві зміни фізичних властивостей можуть мати місце біля критичної області термодинамічних станів і в області дуже низьких температур. Теплообмін біля критичної області розглянемо окремо.

Коментар: _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Всі реальні рідини володіють в’язкістю; між частинками або шарами, які рухаються з різними швидкостями, завжди виникає сила внутрішнього тертя, протидіюча руху. Згідно закону Ньютона ця дотична сила S, віднесена до одиниці поверхні, яка діє у будь-якій точці потоку у площині, яка орієнтована по течії, пропорційна зміні швидкості у напрямку нормалі до цієї площини

Коефіцієнт m називається динамічним коефіцієнтом в’язкості;

При S=m.

У рівняння гідродинаміки і теплопередачі часто входить відношення в’язкості m до густини r, яке називається кінематичним коефіцієнтом в’язкості і позначається літерою n, [м²с]:

Коефіцієнти n і m є фізичними параметрами. Вони суттєво залежать від температури.

У крапельних рідин в’язкість майже не залежить від тиску, але значно зменшується при підвищенні температури.

У газів m збільшується при підвищенні температури. При збільшенні тиску коефіцієнт в’язкості газів також збільшується, але слабше.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4.1. Основи теорії подібності

Теорія подібності – це теорія експерименту. Основна особливість якого полягає у вивченні явища з точним фіксуванням умов його здійснення та відтворення цього явища з повторенням цих умов. При цьому процеси, які протікають в установці, що проектується, на початку вивчаються на моделі, а потім результати досліджень на основі цієї теорії переносяться на реальну установку. Теорія подібності відповідає на наступні запитання: які величини вимірювати у дослідженнях, як обробляти результати досліджень і на які явища можна розповсюдити ці результати.

Подібніс

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: