Оценка параметров множественной регрессии методом наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок МНК

Построение уравнения регрессии осуществляется, как правило МНК, суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результатного признака от его расчетных значений, т.е.:

                               .

Формулу для вычисления параметров регрессионного уравнения по методу наименьших квадратов приведем без вывода

                                                                       (2.4).

Для того что­бы регрессионный анализ, основанный на обычном методе наименьших квад­ратов, давал наилучшие из всех возможных результаты, дол­жны выполняться следующие условия, известные как условия Гаусса – Маркова.

Первое условие. Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю. Иногда случайная составляющая будет положительной, иногда отрицательной, но она не должна иметь систематичес­кого смещения ни в одном из двух возможных направлений.

Фактически если уравнение регрессии включает постоянный член, то обыч­но это условие выполняется автоматичес­ки, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции У, которую не учитывают объясняющие переменные, включен­ные в уравнение регрессии.

Второе условие означает, что дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. Иногда случайная составляющая будет больше, иногда меньше, однако не должно быть априорной причины для того, чтобы она по­рождала большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других.

Эта постоянная дисперсия обычно обозначается , или часто в более крат­кой форме , а условие записывается следующим образом:

.

Выполнимость данного условия называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью, (непостоянством дисперсии отклонений).

Третье условие предполагает отсутствие систематической связи между значени­ями случайной составляющейв любых двух наблюдениях. Например, если случайная составляющая велика и положительна в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что она будет большой и положительной в следующем наблюдении. Случайные составляющие должны быть независимы друг от друга.

В силу того, что , данное условие можно записать следую­щим образом:

                                                               Возмущения  не коррелированны (условие независимости случайных составляющих в различных наблюдениях).

Это условие означает, что отклонения регрессии (а значит, и сама зависимая переменная) не коррелируют. Условие некоррелируемости огра­ничительно, например, в случае временного ряда . Тог­да третье условиеозначает отсутствие автокорреляции ряда .

 Четвертое условие состоит в том, что в модели (2.1) возмущение  (или зависимая переменная ) есть величина случайная, а объясняющая переменная - вели­чина неслучайная.

Если это условие выполнено, то теоретическая ковариация между независи­мой переменной и случайным членом равна нулю.

 Наряду с условиями Гаусса— Маркова обычно также предполагается нормаль­ность распределения случайного члена.

В тех случаях, когда выполняются предпосылки, оценки, полученные по МНК, будут обладать свойствами несмещенности, состоятель­ности и эффективности.