Строим поле корреляции

    По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны значения двух признаков:

  х - выпуск продукции, тыс. ед.;

  у - затраты на производство, млн. руб.

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

2. Построить модели:

Линейной парной регрессии.

Полулогарифмической парной регрессии.

2.3 Степенной парной регрессии.
Для этого:

Рассчитать параметры уравнений.

2. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса)
корреляции.

3. Оценить качество модели с помощью коэффициента (индекса)
детерминации и средней ошибки аппроксимации.

4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности
 сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

По значениям характеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии.

Используя метод Гольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность.

8. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Для уровня значимости =0,05 определить доверительный интервал прогноза.

    Решение.

Строим поле корреляции.

Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной, т.е. у=а+bх, или нелинейной вида: у=а+blnх, у = ах^b.

Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х  вида у=а+bх, т. к. затраты на производство y можно условно разделить на два вида: постоянные, не зависящие от объема производства - a, такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции bх, такие как расход материала, электроэнергии и т.д.

2.1. Модель линейной парной регрессии.

2.1.1. Рассчитаем параметры a и b линейной регрессии у=а+bх.

    Строим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

    Параметры a и b уравнения

Y_x = a + bx

определяются методом наименьших квадратов:

    Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b:

    Уравнение регрессии:

=11,591+0,871x

С увеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производство увеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591 млн. руб.

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.

    Предварительно определим средние квадратические отклонения признаков.

    Средние квадратические отклонения:

    Коэффициент корреляции:

    Между признаками X и Y наблюдается очень тесная линейная корреляционная связь.

2.1.3. Оценим качество построенной модели.

    Определим коэффициент детерминации:

    т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у, на долю необъясненной дисперсии приходится 9,5%.

    Следовательно, качество модели высокое.

    Найдем величину средней ошибки аппроксимации А _i.

    Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения  для каждого значения фактора.

    Ошибка аппроксимации   А_i, i =1…15:

    Средняя ошибка аппроксимации:

    Ошибка небольшая, качество модели высокое.

2.1.4. Определим средний коэффициент эластичности:

    Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.

2.1.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
    Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо.   Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F- критерия Фишера:

    Найдем фактическое значение F - критерия Фишера:

    следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными   x и y неслучайна.

Построим полученное уравнение.

2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии.

2.2.1. Рассчитаем параметры а и b в регрессии:

  у_x =а +blnх.

    Линеаризуем данное уравнение, обозначив:

  z=lnx.

    Тогда:

  y=a + bz.

    Параметры a и b уравнения

определяются методом наименьших квадратов: