Для выбранной модели проверим предпосылку МНК о гомоскедастичности остатков, т. е. о том, что остатки регрессии имеют постоянную дисперсию

Используем метод Гольдфельдта-Квандта.

1. Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.

2. Исключим из рассмотрения 3 центральных наблюдения.

3. Рассмотрим первую группу наблюдений (малые значения фактора х) и

 определим этой группы.

4. Рассмотрим вторую группу наблюдений (большие значения фактора х)   и определим этой группы.

5. Проверим, значимо или незначимо отличаются дисперсии остатков этих групп.

Таблица 5

№	x	y	yx	x2	y2
1	4,1	14,2	58,22	16,81	201,64	15,47	-1,27	1,60
2	5,3	18,4	97,52	28,09	338,56	16,50	1,90	3,61
3	7,1	16,4	116,44	50,41	268,96	18,05	-1,65	2,72
4	8,5	21,7	184,45	72,25	470,89	19,26	2,44	5,97
5	10,2	18,5	188,70	104,04	342,25	20,72	-2,22	4,93
6	11,0	22,2	244,20	121,00	492,84	21,41	0,79	0,63
сумма	46,2	111,4	889,53	392,60	2115,14	111,40	0,00	19,46
среднее	7,70	18,57	148,26	65,43	352,52	18,57	0,00	3,89

    Определим параметры уравнения регрессии 1 группы:

    Уравнение регрессии 1 группы:

=11,93+0,86x

Таблица 6

№	x	y	yx	x2	y2
10	18,3	28,2	516,06	334,89	795,24	27,56	0,64	0,41
11	18,6	26,1	485,46	345,96	681,21	27,85	-1,75	3,06
12	19,7	30,2	594,94	388,09	912,04	28,92	1,28	1,63
13	21,3	28,6	609,18	453,69	817,96	30,49	-1,89	3,56
14	22,1	34,0	751,40	488,41	1156,00	31,27	2,73	7,47
15	24,2	32,3	781,66	585,64	1043,29	33,32	-1,02	1,03
сумма	124,2	179,4	3738,70	2596,68	5405,74	179,40	0,00	17,17
среднее	20,70	29,90	623,12	432,78	900,96	29,90	0,00	3,43

    Параметры уравнения регрессии 2 группы:

    Уравнение регрессии 2 группы:

=9,7+0,98x

S₁= 19.46 >S₂= 17.17

F_факт.< F_табл.

    следовательно, остатки гомоскедастичны, предпосылки МНК не нарушены.

5. Рассчитаем прогнозное значение результата у, если прогнозное значение фактора  х  увеличивается на 5% от его среднего уровня.

    Точечный прогноз:

11,59+0,87–1,05–14,13=24,515 млн. руб.

Для данной величины выпуска продукции прогнозное значение затрат на производство составляет 24,515 млн. руб.

Для уровня значимости α= 0,05 определим доверительный интервал прогноза.

Предварительно определим стандартные ошибки коэффициента корреляции и параметра b.

    Стандартная ошибка коэффициента корреляции:

    Ошибка прогноза:

Доверительный интервал прогноза значений y при  с вероятностью 0,95 составит:

Прогноз надежный, но не очень точный, т. к. .

Варианты заданий.

Вариант № 1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	162	151	190	178	161	175	144	191	160	161
	95	107	125	111	89	97	95	131	92	102

 

Вариант № 2

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	131	124	152	150	139	157	129	160	135	153
	85	91	115	111	94	115	95	130	90	122

 

Вариант № 3

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	118	111	126	114	118	129	126	122	105	113
	98	98	118	103	95	121	99	114	93	107

 

Вариант № 4

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	120	112	133	123	126	140	131	133	114	120
	88	87	110	101	93	118	93	111	93	102

 

Вариант № 5

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	130	122	145	134	137	152	141	144	124	132
	91	90	113	104	97	121	96	114	97	106

 

Вариант № 6

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	124	117	138	128	131	145	136	138	119	125
	95	94	117	108	101	125	101	119	101	110

 

Вариант № 7

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	137	128	156	148	149	162	152	156	134	142
	89	87	113	108	100	119	97	115	97	106

 

Вариант № 8

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	147	138	164	157	160	175	163	168	145	154
	99	97	120	115	110	130	107	125	107	99

 

Вариант № 9

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	118	130	159	138	140	152	158	145	141	127
	69	87	112	95	88	105	100	100	101	99

 

Вариант № 10

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	107	97	115	106	130	135	114	107	108	117
	59	55	73	66	83	95	59	65	72	83

 

Вариант № 11

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	117	108	125	118	137	130	141	107	108	116
	67	65	82	77	90	87	88	61	69	79

 

Вариант № 12

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	134	125	143	136	156	148	160	124	126	125
	78	76	93	88	101	98	99	72	80	80

 

Вариант № 13

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	129	121	139	132	152	144	156	119	121	119
	79	77	94	89	102	99	100	73	81	79

 

Вариант № 14

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	136	129	139	140	154	145	160	154	139	137
	67	67	74	77	83	79	83	90	80	79

 

Вариант № 15

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	150	129	133	145	141	147	146	132	134	145
	87	73	74	88	76	87	75	74	81	93

 

Вариант № 16

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	130	119	113	135	131	137	136	112	124	135
	67	63	54	78	66	77	65	54	71	83

 

Вариант № 17

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	149	110	118	124	161	147	136	122	134	142
	86	54	59	67	96	87	65	64	81	90

 

Вариант № 18

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	161	133	140	134	164	137	159	132	139	149
	98	77	81	77	99	77	88	74	86	97

 

Вариант № 19

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	164	169	153	145	161	143	160	132	149	151
	101	113	94	88	96	83	89	74	96	99

 

Вариант № 20

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	146	130	131	115	139	131	138	129	124	127
	112	100	97	78	99	96	90	96	96	101

 

Вариант № 21

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	155	142	146	157	147	141	158	147	136	143
	101	93	94	112	88	87	95	97	89	100

 

Вариант № 22

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	124	118	123	126	138	132	149	146	117	140
	65	66	69	76	80	79	87	99	68	65

 

Вариант № 23

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	121	100	108	122	125	118	145	125	105	128
	77	59	66	87	79	77	98	88	69	99

 

Вариант № 24

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	128	105	116	134	135	128	158	136	108	133
	65	48	57	78	70	68	89	79	55	82

 

Вариант № 25

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	107	108	104	106	119	125	120	125	106	105
	43	51	44	49	53	65	49	67	53	52

 

Вариант № 26

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	107	108	104	106	119	125	120	125	106	105
	43	51	44	49	53	65	49	67	53	52

 

Вариант № 27

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	150	138	140	131	153	150	160	138	140	145
	95	89	88	79	97	100	99	87	96	103

 

Вариант № 28

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	143	134	134	142	156	159	130	147	144	129
	93	87	77	81	100	101	88	97	85	79

 

Вариант № 29

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	129	119	110	119	139	130	126	132	117	121
	93	87	77	81	100	101	88	97	85	79

 

Вариант № 30

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	126	112	110	129	128	126	123	112	122	128
	82	71	70	86	79	89	77	65	83	80

 

Работа № 2.

 

  Построение моделей в условиях мультиколлинеарности независимых переменных.

    Имеются данные о заработной плате у (тысяч рублей), возрасте х₁ (лет), стаже работы по специальности х₂ (лет) и выработке х₃ (штук в смену) по 15 рабочим цеха:

№	y	х1	х2	х3
1	3,2	30	6	12
2	4,5	41	18	20
3	3,3	37	11	12
4	3,0	33	9	18
5	2,8	24	4	15
6	3,9	44	19	17
7	3,7	37	18	17
8	4,2	39	22	26
9	4,7	49	30	26
10	4,4	48	24	22
11	2,9	29	8	18
12	3,7	31	6	20
13	2,4	26	5	10
14	4,5	47	19	20
15	2,6	29	4	15

    Требуется:

1. С помощью определителя матрицы парных коэффициентов межфакторной корреляции оценить мультиколлинеарность факторов,
исключить из модели фактор, ответственный за мультиколлинеарность.

2. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной
форме:

2.1. Оценить параметры уравнения.

2.2. Используя стандартизованные коэффициенты регрессии
     сравнить факторы по силе их воздействия на результат.

2.3. Оценить тесноту связи между результатом и факторами с помощью коэффициента множественной корреляции.

2.4. Оценить с помощью коэффициента множественной
    детерминации качество модели.

2.5. Используя F-критерий Фишера оценить статистическую
значимость присутствия каждого из факторов в уравнении регрессии.

3. Построить уравнение множественной регрессии в естественной форме, пояснить экономический смысл параметров уравнения.

4. Найти среднюю ошибку аппроксимации.

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составит: х₁ = 35 лет, х₂ = 10 лет, х₃ = 20 штук в смену.

 

    Решение.

 

    Для оценки мультиколлинеарности факторов используем определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

    Определим парные коэффициенты корреляции.

    Для этого рассчитаем таблицу 7.

Используя рассчитанную таблицу, определяем дисперсию y, x₁, x₂, x₃.

Найдем среднее квадратическое отклонение признаков y, x₁, x₂, x₃, как корень квадратный из соответствующей дисперсии.

Определим парные коэффициенты корреляции:

 

 

 

 

таблица 7

№	y	y2	x1	x12	x2	x22	x3	x32	yx1	yx2	yx3	x1x2	x1x3	x2x3			Аi
1	3,2	10,24	30	900	6	36	12	144	96,0	19,2	38,4	180	360	72	2,87	0,33	10,18
2	4,5	20,25	41	1681	18	324	20	400	184,5	81,0	90,0	738	820	360	4,00	0,50	11,03
3	3,3	10,89	37	1369	11	121	12	144	122,1	36,3	39,6	407	444	132	3,32	-0,02	0,73
4	3,0	9,00	33	1089	9	81	18	324	99,0	27,0	54,0	297	594	162	3,38	-0,38	12,79
5	2,8	7,84	24	576	4	16	15	225	67,2	11,2	42,0	96	360	60	2,65	0,15	5,47
6	3,9	15,21	44	1936	19	361	17	289	171,6	74,1	66,3	836	748	323	4,04	-0,14	3,54
7	3,7	13,69	37	1369	18	324	17	289	136,9	66,6	62,9	666	629	306	3,59	0,11	3,03
8	4,2	17,64	39	1521	22	484	26	676	163,8	92,4	109,2	858	1014	572	4,19	0,01	0,20
9	4,7	22,09	49	2401	30	900	26	676	230,3	141,0	122,2	1470	1274	780	4,83	-0,13	2,86
10	4,4	19,36	48	2304	24	576	22	484	211,2	105,6	96,8	1152	1056	528	4,56	-0,16	3,61
11	2,9	8,41	29	841	8	64	18	324	84,1	23,2	52,2	232	522	144	3,13	-0,23	7,82
12	3,7	13,69	31	961	6	36	20	400	114,7	22,2	74,0	186	620	120	3,36	0,34	9,17
13	2,4	5,76	26	676	5	25	10	100	62,4	12,0	24,0	130	260	50	2,51	-0,11	4,65
14	4,5	20,25	47	2209	19	361	20	400	211,5	85,5	90,0	893	940	380	4,39	0,11	2,46
15	2,6	6,76	29	841	4	16	15	225	75,4	10,4	39,0	116	435	60	2,97	-0,37	14,17
σ	53,8	201,08	544	20674	203	3725	268	5100	2030,7	807,7	1000,6	8257	10076	4049	53,80	0,00	91,69
ср.	3,59	13,41	36,27	1378,27	13,53	248,33	17,87	340,00	135,38	53,85	66,71	550,47	671,73	269,93	3,59	0,00	6,11

Матрица парных коэффициентов корреляции:

	y	x1	x2	x3
y	1,000
x1	0,908	1,000
x2	0,894	0,931	1,000
x3	0,783	0,657	0,765	1,000

    Анализируем матрицу парных коэффициентов корреляции.

ú r_x1x2 =0.931, т. е. между факторами x₁ и x₂ существует сильная корреляционная связь, один из этих факторов необходимо исключить.

ú r_x1x3 =0.657 меньше, чем r_x2x3 =0.765, т.е. корреляция фактора х₂ с фактором х₃ сильнее, чем корреляция факторов х₁ и х₃.

ú Из модели следует исключить фактор х₂, т.к. он имеет наибольшую тесноту связи с х₃ и, к тому же, менее тесно (по сравнению с x₁) связан с результатом у (0.894<0.908).

2.1. Уравнение регрессии в естественной форме будет иметь вид:

y_x = a + b_lx_]+b₃x₃,

фактор х₂  исключен из модели.

Стандартизованное уравнение:

t_y = β₁t_x1+β₃t_x3

где:   t_y, t_x1, t_x3 – стандартизованные переменные.

Параметры уравнения β₁ и β₃ определим методом наименьших квадратов из системы уравнений:

Или:

Систему решаем методом Крамера:

∆=	1	0,657	= 1-0,6572= 0,568
	0,657	1

 

∆β1=	0,908	0,657	= 0,908-0,657–0,783=0,394
	0,783	1

 

∆β3=	1	0,571	=0,833-0,571–0,413= 0,186
	0,413	0,833

    Тогда:

Получили уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:

t_y = 0,693t_x1+0,327t_x3

Коэффициенты β₁ и β₃ сравнимы между собой в отличии от коэффициентов чистой регрессии b₁ и b₃.

β₁= 0,693 больше β₃= 0,327, следовательно, фактор x₁ сильнее влияет на результат y чем фактор x₃.

Определим индекс множественной корреляции:

Cвязь между y и факторами x₁, x₃ характеризуется как тесная, т. к. значение индекса множественной корреляции близко к 1.

    Коэффициент множественной детерминации:

R ²_yx1x3 =(0.941)²=0.886

    Т. е. данная модель объясняет 88,6% вариации y, на долю неучтенных в модели факторов приходится 100-88,6=11,4%

Оценим значимость полученного уравнения регрессии с помощью F -критерия Фишера:

F_табл(α= 0,05; k₁= 2; k₂= 15-2-1=12 )= 3,88

Табличное значение критерия Фишера (определяем по таблице значений критерия Фишера при заданном уровне значимости α  и числе степеней свободы k₁ и k₂) меньше фактического значения критерия.      следовательно, гипотезу H₀ о том, что полученное уравнение статистически незначимо и ненадежно, отвергаем и принимаем альтернативную гипотезу H₁: полученное уравнение статистически значимо, надежно и пригодно для анализа и прогноза.

Оценим статистическую значимость включения в модель факторов x₁ и x_2.

F_табл (α= 0,05; k₁= 1; k₂= 15-2-1=12 )= 4,75

F_x1 >F_табл.

F_x3 >F_табл.

    Значит, включение в модель факторов x₁ и x₃ статистически значимо.

Перейдем к уравнению регрессии в естественном масштабе:

Уравнение множественной регрессии в естественном масштабе:

Экономическая интерпретация параметров уравнения:

b₁ =0.064, это значит, что с увеличением x₁ – возраста рабочего на 1 год заработная плата рабочего увеличивается в среднем на 64 рубля, если при этом фактор x₂ - выработка рабочего не меняется и фиксирован на среднем уровне.

b₃ =0,053, это значит, что с увеличением x₃ – выработки рабочего на 1 шт. в смену, заработная плата рабочего увеличивается в среднем на 53 рубля, если при этом фактор x₁ - возраст рабочего не меняется и фиксирован на среднем уровне.    

a =0,313 не имеет экономической интерпретации, формально это значение результата y при нулевом значении факторов, но факторы могут и не иметь нулевого значения.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации, таблица 7.

    Ошибка аппроксимации А_i, i =1…15:

    Средняя ошибка аппроксимации:

    Ошибка небольшая, качество модели высокое.

Используем полученную модель для прогноза.

    Если х₁ =35, х₂ =10, х₃ =20, то

у_р = 0,313 + 0,064•35 + 0,053•20 = 3,618 тыс. руб.

    Вывод. Для рабочего данного цеха, возраст которого 35 лет, а выработка 20 шт. в смену, прогнозное значение заработной платы - 3618 руб.

 

Варианты заданий.

Вариант № 1

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:   12  Сейчас читают про: Экономическое развитие Германии в XIX – начале XX века Либерализм и консерватизм в политике Александра I Требования к складским помещениям и хранению пищевых продуктов Ассортимент полуфабрикатов из птицы и их кулинарное использование Культура Древней Руси 9-12 вв. Значение принятия Русью православия в формировании культуры и ментальности русского народа Определение конфигурации сердца, размеров поперечника сердца и сосудистого пучка Самый сильный аргумент, почему эволюция человека не могла быть Никогда не поступайте против совести, даже если этого требуют государственные интересы. © Эйнштейн ==> читать все изречения... 6056 5891 Понравился сайт? Поделись им с друзьями: