Разложение в ряд при различных видах симметрии

Периодические функции, используемые в электротехнике, чаще всего имеют симметрию. Одни из них симметричны относительно оси абсцисс, другие – относительно оси ординат или начала координат.

На рисунке 17.1 показан график функции, симметричной относительно оси абсцисс. Для такого графика

(17.8)

При симметрии относительно оси абсцисс значения функции повторяются с обратным знаком через половину периода, поэтому кривая второго полупериода, сдвинутая влево на π, является зеркальным отображением кривой первого полупериода.

В составе тригонометрического ряда функции, подчиняющейся условию (17.8), отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники. В этом нетрудно убедиться, если записать ряды вида (17.1), для функций

f(ωt) и f(ωt+π):

Функция f(ωt+π) отличается от f(ωt) тем, что все нечетные гармоники имеют отрицательный знак:

Согласно условию (17.8)

Тогда

При любом значении это равенство возможно, если A₀ =0; A₂ =0; A₄ =0 и т.д.

Таким образом, кривая, симметричная относительно оси абсцисс, выражается тригонометрическим рядом следующего вида:

или

Симметрию относительно оси ординат имеют кривые, у которых при изменении знака аргумента величина и знак функции не меняются (рис.17.2):

(17.9)

Функция, симметричная относительно оси ординат, не содержит синусов:

(17.10)

В этом можно убедиться без математического доказательства. Действительно, входящие в состав ряда (17.4) косинусы симметричны относительно оси ординат, а синусы несимметричны. Если функция в целом симметрична относительно оси ординат, то это возможно лишь при отсутствии синусов. Наличие же постоянной составляющей не нарушает симметрии такого вида.

Симметрия относительно начала координат (рис. 17.3) соответствует условию

(17.11)

Нетрудно заметить, что в данном случае в обеих половинах периода имеются две равные по величине ординаты с разными знаками. Поэтому среднее значение функции за период, или постоянная составляющая, равно нулю. Отсутствуют и несимметричные относительно начала координат косинусоидальные составляющие.

Функция имеет только ряд синусов, обладающих симметрией такого же характера, как и функция в целом: