Лапласовы изображения простых функций

 

а) Изображение константы

Пусть = А =const. Тогда

(25.1)

Следовательно изображение константы равно этой константе, деленной на р, то есть А А / p.

б) Изображение показательной функции

Пусть = . Тогда

(25.2)

т.е. .

Если  то . Положим, , тогда

 но  следовательно

, откуда

;    

.

Изображение комплекса синусоидального тока

 а напряжения

в) Изображение производной

Допустим, дана некоторая функция  и известно ее изображение . Найдем изображение производной этой функции. Пусть , и требуется найти ее изображение Ф (р). Тогда

Интегрируя по частям, получим

Так как  (согласно условию существования интеграла Лапласа). Итак, изображение производной имеет вид

где f (0) – значение функции f (t) при t =0.

Вычисление производной функции при нулевых начальных условиях  соответствует умножению изображения функции на множитель р

(25.3)

Таким образом, операция дифференцирования оригинала заменяется для изображений операцией умножения изображения на р.

 

г) Изображение интеграла

Известно изображение некоторой функции . Требуется определить изображение функции, являющейся интегралом функции :

Так как  а , то

p

Но изображение  известно. Следовательно можно записать

Таким образом, окончательно имеем

(25.4)

Интегрированию функции  в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на p.

 

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме при