Лінійна залежність та незалежність. Вимірність простору. Базис

Означення: Елементи лінійного простору називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , не всі рівні нулю, що

(6)

Означення: Елементи лінійного простору називаються лінійно незалежними, якщо з рівності

, слідує, що .

Означення: Нескінченна система елементів простору називається лінійно незалежною, якщо будь-яка її скінчена підсистема лінійно незалежна.

Означення: Якщо в просторі можна знайти лінійно незалежних елементів, а будь-які елементів цього простору лінійно залежні, то говорять, що має вимірність .

Означення: Якщо ж в можна вказати систему з довільного скінченного числа лінійно незалежних елементів, то говорять, що простір нескінченно вимірний.

Означення: Базисом в - вимірному просторі називається будь-яка підсистема з лінійно незалежних елементів.

Простори і мають вимірність , простори - нескінченновимірні.

Лінійний многовид (лінійна многостатність).

Означення: Підмножина лінійного простору називається лінійним підпростором, якщо вона сама утворює лінійний простір по відношенню до визначених в операцій додавання і множення на число.

Означення: Не порожня підмножина лінійного простору називається лінійним многовидом (лінійною многостайністю), якщо з того, що слідує , для будь-яких чисел .

У будь-якому лінійному просторі існує два «тривіальних» підпростори: перший складається з одного нульового вектора (і тому називається нульовим підпростором), другий збігається зі всім .

Також, у будь-якому лінійному просторі є лінійний многовид який збігається зі всім .

Означення: Підпростір, який складається з хоч би одного не нульового елемента називається власним підпростором.

Приклади многовидів.

1). Нехай - лінійний простір, деякий його елемент. Сукупність , де пробігає всі числа (дійсні або комплексні), створює лінійний многовид.

2). Розглянемо простір , у ньому сукупність многочленів створює лінійний многовид. В той же час, сам простір можна розглядати, як лінійний многовид більш широкого простору всіх неперервних та розривних функцій на .

3). Розглянемо простори , кожний з них є лінійним многовидом у наступному просторі.

Твердження: Нехай - довільна не порожня множина елементів лінійного простору . Тоді в існує найменший лінійний многовид (який можливо співпадає с ), який містить .

Доведення. Дійсно, є майже один лінійний многовид,), який містить , це сам простір . Зрозуміло, що перетин будь-якої множини лінійних многовидів є лінійний многовид. Дійсно, якщо і , то ,отже , , то , . Візьмемо зараз всі лінійні многовиди, які містить систему векторів та розглянемо їх перетин. Це й буде найменший лінійний многовид, який містить .

Означення: Найменший лінійний многовид, який містить систему елементів , називається лінійним многовидом, породженим множиною , або лінійною оболонкою множини .

Позначають лінійну оболонку - .