2018-02-23
416
ЛЕКЦИЯ 2. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Понятие системы счисления
Для обозначения количественных характеристик объектов и явлений используются последовательности символов. Например, для указания года используется последовательность символов "1999". Символы '1 и '9' выбираются из набора символов, в который входят также символы '0', '2', '3',' 4', '5', '6', '7' и '8'.
Набор символов, правил счета и записи чисел в виде последовательности символов из этого набора образуют систему счисления. Набор символов системы счисления называется алфавитом, а сами символы - цифрами.
Необходимо различать значение числа и его запись. Одно и то же число можно записать, используя различные системы счисления. Например, 35 и XXXV - это две различные записи одного и того же числа.
Рассмотрим в качестве примера запись чисел в двух системах счисления. Первой системой (S1) является арабская система счисления с алфавитом:
А1 = {0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Во второй системе (S2) число представляется в виде последовательности единиц и для определения значения числа необходимо сосчитать количество единиц в его записи. Алфавит второй системы счисления состоит из одной цифры: А2 = {1}.
Число "одиннадцать" в этих системах счисления записывается соответственно 11 и 11111111111. При записи чисел используется цифра 1, однако в первой системе счисления вес единицы определяется ее местоположением в записи числа (вес левой единицы равен 10, вес правой единицы равен 1), тогда как вес 1 во второй системе счисления всегда равен единице и не зависит от того, где она располагается.
Из-за указанного различия эти системы счисления относят к разным классам систем счисления - позиционным и непозиционным системам счисления.
В позиционных системах счисления вес цифры в записи числа зависит от ее вида и от занимаемой ею позиции. Позиции цифр в таких системах счисления называются разрядами. Разряды нумеруются числами: 0, 1, 2 и т.д. Крайняя левая позиция в записи числа является старшим разрядом числа, а крайняя правая позиция - младшим разрядом числа.
В непозиционных системах счисления количественное значение цифры зависит только от ее вида, а в некоторых непозиционных системах счисления (например, римской) - от взаимного расположения цифр. Непозиционные системы счисления появились раньше позиционных (первобытные люди использовали для обозначения чисел последовательности зарубок на бревне. древние греки также пользовались непозиционными (аттической и ионической) системами счисления). Правила счета небольших чисел в некоторых таких системах очень просты. Например, для добавления единицы к числу в непозиционной системе счисления S2 необходимо приписать слева или справа единицу: 111 + 1 = 1111.
При записи больших чисел более приемлемым является использование позиционных систем счисления (число 1000000000 при использовании непозиционной системы счисления S2 может не поместиться на одном листе бумаги).
Число q, равное количеству различных цифр в алфавите позиционной системы счисления, называется основанием системы счисления.
В алфавите арабской системы счисления S1 q равно десяти, так как алфавит включает в себя десять различных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В соответствии со значением основания арабскую систему счисления называют десятичной системой счисления.
Число Nq в позиционной системе счисления с основанием q и алфавитом А в многочленной записи выглядит следующим образом:
Nq = anan-1... а 1 a o a-1a-2... a-m = anqn + an-1qn-1 +…+ a1q1 + a0q0 + … + а-1q-1 + a-2q-2+... + a-mqm,
где an, an-1,..., a1, аo, a-1, a-2,..., a-m - цифры из алфавита А; п. п - 1,..., 1, 0, -1,-2,...,-т - номера разрядов.
Разряды с номерами, которые больше или равны 0, образуют целую часть числа. Разряды с номерами, меньшими 0, образуют дробную часть числа. В записи числа эти разряды отделяются разделительной (дробной) точкой или запятой.
Если дробная часть отсутствует, то число называют целым и опускают разделительную точку в записи числа. Если отсутствует целая часть, то число называют правильной дробью и перед разделительной точкой записывают 0 (25 - целое число, 0.14 - правильная дробь).
Например, в арабской системе счисления значение числа 345.678 определяется выражением:
345.678 = 3 • 102 + 4 • 101 + 5 • 100 + 6 • 10-1 + 7 • 10-2 + 8 • 10-3.
Упражнения и задачи для повторения
1. Дано число в римской системе счисления MCCMXCIV. Чему оно равно в арабской системе счисления.
2. Найти основание системы счисления x в которой выполняется равенство: 2x ´ 2x = 10x.
3. Доказать. что произведение цифр неоднозначного числа меньше этого числа.
4. Описать все многозначные числа, обладающие следующим свойством: если переставить цифры в обратном порядке, то получится число, которое является делителем первоначального, причем частное отлично от единицы.
5. Произведение первой цифры числа на оставшуюся часть 576, а произведение последней цифры числа на оставшуюся часть 384. Найти это число(964).
6. Три цифры пятизначного числа четверки. Найти это число, если оно делится без остатка на 315(44415).
7. Восстановите стертые цифры числа 843..6, если оно делится без остатка на 468 (843336).
8. Последняя цифра числа - 4. Если ее зачеркнуть, а затем приписать слева, то число увеличится вдвое. Найти наименьшее из таких чисел (210526315789473684).
9. Найти четырехзначное число, зная, что оно на цифру сотен меньше квадрата произведения двух последних цифр, а сумма всех цифр его равна квадрату цифры единиц (1294).
10. Слова AKT, УТРО, КОМАР соответственно означают квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 9128931 (ТРАКТОР).
11. Напишите семизначное число, у которого первая цифра равна количеству нулей в числе, вторая количеству единиц, третья - количеству двоек в числе и т. д.(3211000)
12. Используя все значащие цифры по одному разу, напишите наименьшее число, которое делится без остатка на 13 (987652341).
13. Найти число, которое меньше 1993 на сумму своих цифр.
14. Найти наименьшее основание y позиционной системы счисления, при которой выполняется равенство: 145x = 442y.
Решение задачи № 14
Найти наименьшее основание y позиционной системы счисления, при которой выполняется равенство: 145x = 442y.
Получим выражение: x2 + 4x + 5 - 4y2 - 4y - 2 = 0 (1). Дискриминант квадратного уравнения полученного из выражения (1), если считать x переменной величиной равен:
16 - 4 ´ (- 4y2 - 4y + 3) ≥ 0.
4y2 + 4y + 1 ≥ 0.
(2y + 1)2 ≥ 0 (2).
Неравенство (2) выполняется при любом положительном y. Очевидно, что x>1 и y>1. Преобразуем равенство (1):
x2 + 4x + 5 = 4y2 + 4y + 2
x2 + 4x + 4 - 4y2 - 4y - 1 = 0;
(x + 2)2 = (2y + 1)2.
Так как x + 2 > 0 и 2y + 1 > 0, то x + 2 = 2y + 1 и x = 2y - 1. Минимальное значение y равно 5 так как y>4. Тогда x = 2 ´ 5 - 1 = 9.
Выполним проверку, подставим в выражение 1 найденные значения x = 9 и y = 5:
x2 + 4x + 5 = 4y2 + 4y + 2;
92 + 4 ´ 9 + 5 = 4 ´ 52 + 4 ´ 5 + 2;
81 + 36 + 5 = 100 + 20 + 2 = 122.
