Использование позиционных систем счисления

В современных ЭВМ для представления чисел используются позиционные системы счисления. Число в позиционной системе счисления состоит из n разрядов. Каждый разряд содержит одну из q цифр, где q - основание системы счисления (число различных цифр в алфавите). Поэтому для представления чисел в памяти ЭВМ требуются устройства, имеющие q устойчивых состояний (чтобы различать по состоянию устройства значения цифры в разряде).

Наиболее просто с технической точки зрения реализуются устройства, имеющие два устойчивых состояния (электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто, магнитный материал намагничен или размагничен, электронная схема имеет на выходе высокое или низкое напряжение и т.д.). В связи с этим для представления чисел в ЭВМ применяется двоичная система счисления.

Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий только из двух цифр: 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число два.

Кроме двоичной системы счисления при вводе и выводечисел используются также десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Запись чисел в этих системахкороче и удобнее записи чиселв двоичной системе счисления.

Восьмеричная система счисленияимеет алфавитиз восьми цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основанием восьмеричной системы является число восемь.

Шестнадцатеричная система счисления состоит из шестнадцати различных цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f. Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число шестнадцать.

Запись шестнадцати чисел от 0 до 15 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления приведен в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Упражнения и задачи

1. Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления десятью цифрами.

2. Какое минимальное число можно записать в двоичной системе счисления, пользуясь пятью символами.

3. Сколько последовательных нулей младших разрядов должно быть в записи восьмеричного числа, чтобы оно делилось без остатка на 256.

4. Трехзначное число, записанное в шестнадцатеричной системе счисления, увеличивается вдвое от перестановки первой цифры в конец числа. Чему равно максимальное из таких чисел, записанное в системе счисления по основанию 16.

5. Трехзначное число, записанное в шестнадцатеричной системе счисления, увеличивается вдвое от перестановки первой цифры в конец числа. Чему равно минимальное из таких чисел, записанное в системе счисления по основанию 16.

Решение задачи № 4

Трехзначное число, записанное в шестнадцатеричной системе счисления, увеличивается вдвое от перестановки первой цифры в конец числа. Чему равно минимальное из таких чисел, записанное в системе счисления по основанию 16.

Составим равенство: 2 ´ (256x + y) = 16y +x (1) и выполним преобразования: 511x = 14y; 73x = 2y. Учитывая, неравенство 0 ≤y ≤255 и 1 ≤ x ≤ 15 и то, что x - четное число, минимальное значение x равно 2, а y = 73. Число 73₁₀ в шестнадцатеричной системе счисления равно 49₁₆. Поэтому искомое число равно 249₁₆.

Выполним проверку. Докажем равенство: 2 ´ 249₁₆ = 492₁₆:

2 ´ (2´16² + 4 ´ 16 + 9) = 2 ´ (512 + 64 + 9)=2 ´ 585 = 1170;

4 ´ 16² + 9 ´16 + 2 = 4 ´ 256 + 9 ´ 16 +2 = 1170.