Собственные интегралы, зависящие от параметра

1 2 3

Курсовая работа

на тему:

«Интегралы, зависящие от параметра.»

Выполнила: студентка ФМФ 33 гр.

Сыпко Галина Александровна.

Научный руководитель: ассистент

Анохина Е.Ю.

Таганрог. 2009 г.

Содержание

1 Введение…………………………………………………………………….3

2 Интегралы, зависящие от параметра…………………………...................4

2.1 Несобственные интегралы…………………………………………….4

2.2 Собственные интегралы, зависящие от параметра…………………11

2.3 Несобственные интегралы, зависящие от параметра………………17

2.4 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра…..21

2.5 Вычисление интегралов, зависящих от параметра………………….25

3 Список литературы…………………………………………………………27

Введение.

Математический анализ - общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая часть математики, связанная с понятиями функции, производной и интеграла. Цель дисциплины «Математический анализ»- ознакомление с фундаментальными методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления.

Объектами изучения в данной дисциплине являются прежде всего функции. С их помощью могут быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные процессы, происходящие в технике. Отсюда объективная важность математического анализа как изучения функций.

2 Интегралы, зависящие от параметра.

2.1 Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы первого рода.

Пусть f:[a, + R и интегрируема по Риману на любом отрезке [a, A] (A (а, Формальное выражение

назовем несобственным интегралом первого рода.

Определени2.1 Несобственный интеграл первого рода назовем сходящимся, если существует

В этом случае будем говорить, что число I является значением интеграла и писать

Если же указанный предел равен бесконечности или вовсе не существует, то будем говорить, что интеграл расходится.

При аналогичных предложениях определим несобственные интегралы

Пример.2.1. Исследовать на сходимость интеграл

∆Пусть тогда

Если , то существует конечный то есть интеграл J сходится, причем Если то и поэтому интеграл J расходится. При интеграл также расходится, так как при

Таким образом, интеграл J сходится при и расходится при ▲

Теорема 2.1 (критерий Коши) Для сходимости несобственного интеграла

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши

(1)

○ Обозначим

(2)

Тогда сходимость интеграла J означает существование конечного предела функции при а этот предел, согласно критерию Коши для функций, существует в том и только том случае, когда функция F удовлетворяет условию

(3)

Из формулы (2) в силу свойств интеграла следует, что

Поэтому условие (3), являясь необходимым и достаточным для сходимости интеграла J, выполняется тогда и только тогда, когда выполняется условие (1), если взять ●

Если использовать определение предела функции по Гейне, то можно

сформулировать

Предложение 2.1 сходится тогда и только тогда, когда

для любой последовательности →+∞, последовательность интегралов сходится

Определение 2. 2. Назовем интеграл абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

Теорема 2.2. Если сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. Так как интеграл сходится абсолютно, то по критерию Коши выполняется условие

Но тогда и

При любых ■

Определение 2.3. Если сходится, но не сходится абсолют-

но, то будем называть его условно сходящимся.

Теорема 2.3 (Вейерштрасс). Пусть функции f, g: [а; +∞) →R, интегрируемы по Риману на [а; А] при любом А > а, для всех и сходится. Тогда тоже сходится и притом абсолютно.

Доказательство. Так как сходится, то по критерию Коши Но тогда при А’, А” > имеем:

Из полученной оценки, в силу критерия Коми, вытекает и сходимость и абсолютная сходимость интеграла от f(x) •

Замечание 2.1. Неравенство в формулировке теоремы может выполняться лишь для , где b>a. Это вытекает из того, что всегда можно представить

Первый интеграл в этом представлении не особенный, а ко второму можно применить доказанную теорему.

Пример 2.2 Рассмотрим интегралы

Решение. Так как а сходится, если р> 1 (пример2.1) то и сходится, и притом абсолютно, при р > 1. Второй интеграл рассматривается

аналогично. ■

Теорема 2.4 (Дирихле) Пусть функции f, g: и интегрируемы по Риману

на [а; А] при любом А > а. Тогда сходится, если выполнены следующие

два условия:

1) ограничен на [а; +∞);

2) функция g(x) монотонно стремится к нулю при

Доказательство. По первому условию существует постоянная М такая,

что . По второму условию такое, что при А > будет выполняться неравенство . По второму же условию функцию g(x) можно считать неотрицательной. Возьмём и применим к интегралу вторую теорему о среднем значении (формулу Боннэ), согласно которой найдётся такое, что

Но тогда, поскольку

справедлива оценка

для любых А’, А” > . По критерию Коши интеграл сходится. ■

Теорема 2.5 (Абель) Пусть функции f, g: [а; +∞)→R и интегрируемы по Риману на [а; А] при любом А > а. Тогда сходится, если выполнены следующие два условия:

1) сходится;

2) функция g(x) монотонна и ограничена на [а; +∞).

Доказательство. В силу второго условия существует .

Тогда

Первый из интегралов справа сходится по признаку Дирихле, поскольку

монотонно стремится к нулю при х→+∞, а второй сходится в силу условия 1 доказываемой теоремы. ■

Замечание 2.2 При доказательстве теоремы Абеля было использовано очевидное свойство

несобственных интегралов: если сходятся интегралы и , то сходится и , при этом

= +

Пример 2.3 Вернемся к рассмотренным выше примерам

Решение. По признаку Дирихле эти интегралы сходятся при р > 0, поскольку при этом условии дробь ↓ 0, а интегралы очевидно, ограничены. ■

Пример 2.4 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл сходится по признаку Абеля. Действительно,

сходимость интеграла установлена в предыдущем примере, а

функция arctg х монотонна и ограничена. ■

Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция f: (а; b] →R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b] при любом 0<δ<b-a.

Формальное выражение

назовём несобственным интегралом второго рода.

Определение 2.4 Несобственный интеграл второго рода назовём сходящимся, если существует

В этом случае будем говорить, что число I являемся значением интеграла и писать

Аналогично определяется

если функция f определена на [а; b), интегрируема на [а; b-ξ] при любом 0<δ<b-a и неограниченна в окрестности точки b.

Если же функция f определена на [а; b]\{c}, а < с < b, неограниченна в окрестности точки с, но интегрируема на отрезках [а; с-δ] и [с-δ; b] при любом допустимом положительном δ, то определим

Пример 2.5 сходится при р<1 и расходится при р .

Теорема 2.6 (критерий Коши) Если функция f: (a; b]→R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b]

при любом О<δ<δ-a, то сходится тогда и только тогда, когда такое, что а’, а”: а <а’, а” < а + δ. Будет выполняться условие

Это утверждение доказывается так же, как и аналогичное утверждение

для несобственных интегралов первого рода. Так же вводится понятие

абсолютной и условной сходимости и устанавливается соотношение между ними. Так же формулируется и доказывается признак сходимости Вейерштрасса.

Интегралы в смысле главного значения

Определение 2. 5 Пусть функция f: R→ R, интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, но несобственный интеграл

не существует. Тогда, если существует , мо он называется интегралом в смысле главного значения и обозначается символом

( p.)

Определение 2.6 Пусть функция f: [а;b ]\{с} → R, а <с < b, неограниченна в окрестности точки с, интегрируема по Риману на отрезках

[а; с — δ] и [с + δ; b] при любом δ> 0, но не существует. Тогда, если существует

то он называется интегралом в смысле главного значения н обозначаемся символом

( p.)

Пример 2.6 Рассмотрим

Решение. Это — расходящийся интеграл второго рода, поскольку показатель степени p =1. Однако

Следовательно, рассматриваемый интеграл существует в смысле главного значения и

( p.) ■

Пример 2.7 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл расходится, так как подынтегральная функция f(х)~ . Но

Следовательно, этот интеграл существует в смысле главного значения и ( p.) ■

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть f: [а; b] х Y → R, где [а; b] R, Y- любое множество,

а [а; b] х Y = {(х, у): х [а; b], у Y}. Предположим, что функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; b].

Определение 2.7 Функцию

(2.1)

определённую на множестве Y при описанных выше условиях, будем

называть собственным интегралом, зависящим от параметра.

Изучим свойства этого интеграла, ограничившись простейшим случаем:

У = [с; d] R, и введя обозначение

П [а b] х [с; d] = {(х, у): х [а; b], у [с; d]}.

Теорема 2.7 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда

функция I(у) непрерывна на отрезке [а; b].

Доказательство. Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Возьмём, поэтому, любое [с; d] и

любое > 0 и покажем, что найдётся > 0 такое, что если у [с; d] и

, то будет выполняться неравенство

Прямоугольник П — компактное множество в , поэтому по теореме

Кантора функция f равномерно непрерывна на П, следовательно, по выбранному >0 можно указать такое > 0, что если

то будет выполняться неравенство

Положим х' = х"= х, у' = у, у" = . Тогда

Полученная оценка доказывает не только непрерывность, но и равномерную (поскольку δ не зависит от ) непрерывность функции I(у) на

отрезке [а; b].■

Теорема 2.8 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда

функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство

(2.2)

Доказательство. Интегрируемость I(у) вытекает из предыдущей теоремы и теоремы об интегрируемости непрерывных функций. Равенство

же 2.2 следует из теоремы о сведении кратного интеграла к повтор-

ному. для непрерывной на прямоугольнике П функции существует

, который может быть сведен к повторному в любом порядке. ■

Теорема 2.9 Если функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную на прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство

(2.3)

Доказательство. Так как непрерывна на П, то, используя предыдущую теорему, для любого у [с; d] можем написать равенство

(2.4)

Упростим левую часть равенства 2.4 с помощью формулы Ньютона-

Лейбница.

Обозначим через J(η) внутренний интеграл в правой части равенства

(2.4). Тогда равенство (2.4) примет вид:

(2.5)

По теореме 2.7 J(η) — непрерывная на [с; d] функция. Но тогда по

теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом правая часть равенства (3.5) (следовательно, и левая) дифференцируема на

отрезке [с; d]. По той же теореме из равенства (3.5) получаем:

что и требовалось. ■

Рассмотрим теперь более общий случай, когда не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования зависят от параметра. Итак, пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =[а; Ь] х [с; d], интегрируема по х на отрезке [а; b] для каждого у [с; d],

функции а (у) и b(у) заданы на отрезке [с; d] и [с; d] выполняется

а ≤ а(у) ≤ b(у) ≤ b. Рассмотрим интеграл

(2.6)

Теорема 2.10 Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у),

b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством

(2.6), непрерывна на [с; d].

Доказательство. Пусть y [с; d]. Покажем, что Для этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.

(2.7)

Здесь интегралы обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый

из них в отдельности.

Первый из интегралов — интеграл с постоянными пределами вида

2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому

Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что

П. Но тогда

А так как функция b(у) непрерывна на [с; d], то при

, поэтому

Совершенно аналогично доказывается, что и

Таким образом,

что и требовалось доказать. ■

Теорема 2.11 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П и

имеет на нём непрерывную частную производную , а функции а(у) и

b(у) дифференцируемы на отрезке [с; d]. Тогда функция I(у), определяемая равенством (2.6), дифференцируема на отрезке [с; d] и её производная может быть вычислена по формуле

(2.8)

Доказательство. Поскольку дифференцируемость на промежутке есть

дифференцируемость в каждой точке промежутка, то возьмём на отрезке [с; d] и покажем, что I(у) дифференцируема в точке , и что представляется в виде правой части формулы (2.8). Для этого воспользуемся представлением I(у) в виде (2.7) и покажем, что каждое слагаемое

правой части (2.7) дифференцируемо и вычислим его производную.

Первый из интегралов в правой части (2.7) имеет постоянные пределы

интегрирования. Его дифференцируемость установлена в теореме 2.9.

Поэтому

(2.9)

Теперь докажем дифференцируемость и вычислим производную второго слагаемого в правой части (2.7). (Отметим, что .)

По определению производной

Так как подынтегральная функция непрерывна (по х), то по свойству

определённого интеграла найдётся с = с(у), , такое, что

. Но тогда

так как первый предел существует по теореме о трёх функциях и в силу непрерывности функции f на прямоугольнике П, а второй — в силу

дифференцируемости функции b(у). Итак,

. (2.10)

Совершенно аналогично доказывается, что третье слагаемое в (2.7)

дифференцируемо и что

. (2.11)

Итак, все три слагаемых в правой части равенства (2.7) дифференцируемы в точке , значит, и функция I(у) дифференцируема в точке и

. (2.12)

Подставив сюда значения производных (формулы (2.9), (2.10), (2.11)),

получим представление (2.8) в точке .■

Замечание 2.3 Условия теорем 2.7 — 2.11 являются достаточными.

декларируемые в теоремах свойства могут выполняться и при нарушении условий этих теорем. Но быть уверенным в их выполнении при нарушении условий теорем нельзя.

Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 2.8 Рассмотрим