Вычисление интегралов, зависящих от параметра

Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра α:

 

 

Укажем без доказательства, что если функция f(x,α) непрерывна по x на отрезке , то функция

 

Является непрерывной функцией на отрезке . Следовательно, функцию I(α) можно интегрировать по α на отрезке :

Выражение, стоящее справа, есть двукратный интеграл от функции f(x,α) по прямоугольнику, расположенному в плоскости Oxα. Можно изменить порядок интегрирования в этом интеграле:

Эта формула показывает, что для интегрирования интеграла, зависящего от параметра α, достаточно проинтегрировать по параметру α подынтегральное выражение. Эта формула также бывает полезна при вычислении определенных интегралов.

Пример 2.14 Показать, что интеграл  сходится, и вычислить этот интеграл.

 ∆ Обозначим  Тогда

 

Так как существует конечный  то интеграл J существует и сходится (по определению), причем .▲

Пример2.15 Вычислить интеграл

Неопределенный интеграл от подынтегральной функции не берется в элементарных функциях. Для его вычисления рассмотрим другой интеграл, который можно легко вычислить:

(α>0).

Интегрируя это равенство в пределах от α=a до α=b, получим

Меняя порядок интегрирования в первом интеграле, перепишем это равенство в следующем виде:

Откуда, вычисляя внутренний интеграл, получаем

■

 

Литература

1. Тер-Крикоров А.М., Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. -2-е изд, М.:Физмалит: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов.т.2,13-е изд. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа. Части 1,2, М.: Наука, 1971, 1973.

4. Рудин У., Основы математического анализа, М.: Мир, 1966.

5. Зорич В.А., Математический анализ. Части 1,2, М.: Наука, 1981, 1984.

6. Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа. Тома 1.2, М.: Наука, 1968.