Непрерывность функции нескольких переменных

 

По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х ₀, у ₀), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х ₀, у ₀) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

 

 (1)

 

Условие непрерывности f в точке (х ₀, у ₀) можно записать в эквивалентной форме:

 

 (1')

 

т.е. функция f непрерывна в точке (х ₀, у ₀), если непрерывна функция f (х ₀ + Δ х, у ₀ + Δ у) от переменных Δ х, Δ у при Δ х = Δ у = 0.

Можно ввести приращение Δ и функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Δ х, Δ у аргументов

 

Δ и = f (х + Δ х, у + Δ у) – f (x, y)

 

и на этом языке определить непрерывность f в (x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если

 

 (1'')

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х ₀, у ₀) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х ₀, у ₀) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x, y. Она непрерывна по этим переменным, потому что

 

| f (x, y) – f (х ₀, у ₀) | = | с – с | = 0 0.

 

Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y), и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так:

 

| f (х + Δ х, у + Δ у) – f (x, y) | = | f (х + Δ х) – х | = | Δ х | ≤  0.

 

Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y)   R ₂.

Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x, y), очевидно, непрерывная всюду на R ₂, за исключением точек (x, y), где Q (x, y) = 0.

Функция

Р (x, y) = х ³ – у ² + х ² у – 4

 

может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция

Р (x, y) = х ⁴ – 2 х ² у ² + у ⁴

 

есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x ₀, y ₀, z ₀ ) пространства R ₃ (точек (x, y, z)), а функции

x = φ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v)

 

непрерывны в точке (u ₀, v ₀ ) пространства R ₂ (точек (u, v)). Пусть, кроме того,

x ₀ = φ (u ₀, v ₀ ), y ₀= ψ (u ₀, v ₀ ), z ₀= χ (u ₀, v ₀ ).

 

Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по

(u, v)) в точке (u ₀, v ₀ ).

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

 

Теорема. Функция f (x, y), непрерывная в точке (х ₀, у ₀) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х ₀, у ₀) в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀).

По определению функция f (x) = f (x ₁,..., х_п) непрерывна в точке х ⁰ = (х ⁰₁,..., х ⁰ _п), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х ⁰, и если предел ее в точке х ⁰ равен ее значению в ней:

 (2)

 

Условие непрерывности f в точке х ⁰ можно записать в эквивалентной форме:

 

 (2')

 

т.е. функция f (x) непрерывна в точке х ⁰, если непрерывна функция f (х ⁰ + h) от h в точке h = 0.

Можно ввести приращение f в точке х ⁰, соответствующее приращению h = (h ₁,..., h_п),

 

Δ _h f (х ⁰ ) = f (х ⁰ + h) – f (х ⁰ )

 

и на его языке определить непрерывность f в х ⁰: функция f непрерывна в х ⁰, если

 

 (2'')

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х ⁰функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х ⁰ ) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δ _h f (х ⁰ ) называют также полным приращением функции f в точке х ⁰.

В пространстве R_n точек х = (x ₁,..., х_п) зададим множество точек G.

По определению х ⁰ = (х ⁰₁,..., х ⁰ _п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.

Множество G   R_n называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

х ₁ = φ₁ (t),..., х_п = φ _п (t) (a ≤ t ≤ b)

 

непрерывные на отрезке [ a, b ], определяют непрерывную кривую в R_n, соединяющую точки х ¹ = (х ¹₁,..., х ¹ _п) и х ² = (х ²₁,..., х ² _п), где х ¹₁ = φ₁ (а),..., х ¹ _п = φ _п (а), х ²₁ = φ₁ (b),..., х ² _п = φ _п (b). Букву t называют параметром кривой.

Множество G называется связным, если любые его две точки х ¹, х ² можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.

Связное открытое множество называется областью.

Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на R_n (во всех точках R_n). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству

f (x) > с (или f (x) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.

В самом деле, функция F(x) = f(x) – с непрерывна на R_n, и множество всех точек х, где F(x) > 0, совпадает с G. Пусть х ⁰  G, тогда существует шар

 

| х – х ⁰ | < δ,

 

на котором F(x) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х ⁰  G – внутренняя для G.

Случай с f (x) < с доказывается аналогично.

Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М ₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

а) функция f (М) определена в точке М ₀ и вблизи этой точки;

б) существует предел ;

в)

Если в точке М ₀ нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln (x ² + y ² ).

Решение. Функция z = ln (x ² + y ² ) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.

Пример 2. Найти точки разрыва функции:

Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x ² + y ² – z ² = 0. Следовательно, поверхность конуса

x ² + y ² = z ² является поверхностью разрыва.

Заключение

 

Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.

В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).

Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.

Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.

Список использованной литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с.

3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.

4. http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5. http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm