Градусная и радианная мера угла

 

Как было показано ранее, функция задает определенное соотношение между двумя числовыми множествами. Однако в некоторых случаях область определения функции может являться множеством чисел, имеющих размерность. В частности, речь идет о множестве значений некоторого угла. Прежде чем приступить к рассмотрению подобных функций, напомним некоторые факты, связанные с измерением углов.

Определение 1. Углом в  называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющей длину, равную ее  части.

Исторически сложилось деление градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд, то есть: , . Секунды делятся на десятые, сотые и т.д. части. Градус является наиболее распространенной единицей измерения углов.

Определение 2. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющую длину, равную ее радиусу.

Таким образом, для отыскания радианной меры  центрального угла достаточно длину дуги (l), на которую он опирается, разделить на длину радиуса (R), то есть .

Из сказанного выше следует, что полной окружности будет соответствовать в градусах угол в 360 раз больший, то есть . В радианах это будет  радиан. Необходимо также отметить, что величина угла в градусной и радианной мере никак не связана с радиусом окружности. Следовательно, в дальнейшем можно рассматривать окружность любого радиуса, проще всего - единичного.

Формулы перехода от градусной меры дуг и углов к радианной и наоборот имеют вид:

 

, .

 

Отсюда следует, что

 

1 рад = , а рад 0,01745 рад.

 

Рассмотрим теперь координатную плоскость с началом координат в точке О. Проведем окружность единичного радиуса с центром в точке О и отметим точки ее пересечения с осями координат.

Рассмотрим произвольную точку M на окружности и вектор , который называется радиус-вектором точки M.

Будем рассматривать центральные углы AOM, образованные векторами  и  при перемещении точки M по окружности.

	Y

D

C

B

A

O

X

M

 

Если точка M совпадает с точкой A, то  полагают равным нулю. Будем считать  положительным, если вращение вектора  от начального положения  происходит в направлении противоположном движению часовой стрелки. В противном случае  будем считать отрицательным.

Так как полный оборот вектора  приводит его в то же положение, однозначно определить величину угла, если это не оговорено, нельзя. Иначе говоря, в общем случае

 

 

Или

 

.