2020-01-15
346
Система счисления – это способ изображения любых чисел с помощью некоторого набора символов, которые называются цифрами.
Все системы счисления делятся на два больших класса – непозиционные и позиционные.
В непозиционной системе значение цифры не зависит от места, которое она занимает в записи числа. Примером непозиционной системы счисления является римская система записи чисел.
В позиционных системах счисления вес (значение) каждой цифры изменяется от ее позиции (положения) в записи числа. Примером такой системы является наша с вами привычная десятичная система счисления.
Название системе дает количество цифр, необходимых для записи числа в данной системе.
Наиболее распространенными системами счисления являются:
- двоичная сс (две цифры 0 и 1)
- десятичная сс (десять цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, …9)
- восьмеричная сс (восемь цифр 0, 1, …7)
- шестнадцатеричная сс (цифры 0, 1, 2, …9 и знаки A, B, C, D, E, F)
Десятичная система счисления наиболее распространена в вычислительной практике и этим она обязана случайному обстоятельству – наличию у людей десяти пальцев на руках.
Количество различных цифр, необходимых для записи чисел в данной системе счисления называется основанием системы счисления – р.
У двоичной системы счисления основание р=2, у восьмеричной – 8=23, у шестнадцатеричной – 16=24.
Рядом с числом в скобках указывают систему счисления, в которой это число записано, т.е. А(р).
В позиционной системе счисления с некоторым основанием р любое число можно представить в виде последовательности цифр
А(р) = а(n-1) а(n-2)….а(1) а(0), а(-1) а(-2)…а(-m)
| Десятичная цифра | Эквиваленты в системах счисления | Десятичная цифра | Эквиваленты в системах счисления | ||||
| р=2 | р=8 | р=16 | р=2 | р=8 | р=16 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 2 | 10 | 2 | 2 | 10 | 1010 | 12 | A |
| 3 | 11 | 3 | 3 | 11 | 1011 | 13 | B |
| 4 | 100 | 4 | 4 | 12 | 1100 | 14 | C |
| 5 | 101 | 5 | 5 | 13 | 1101 | 15 | D |
| 6 | 110 | 6 | 6 | 14 | 1110 | 16 | E |
| 7 | 111 | 7 | 7 | 15 | 1111 | 17 | F |
В р – ичной системе счисления любое число имеет вид:
(*) А(р)=аn-1 рn-1 +аn-2 рn-2 + … +а1 р1 +а0 р0 + а-1 р-1 + … + а-m р-m
Где аi – цифры в записи числа
р – основание системы счисления
n – количество разрядов (позиций) в целой части числа (до запятой)
m – количество разрядов в дробной части числа (после запятой)
Н-р: 1995 (10)= 1*103 + 9*102 + 9*101 +5*100
1001 (2)= 1*23 +0*22 +0*21 +1*20
В ЭВМ длина обрабатываемых чисел обычно ограничена следующими значениями: 1 байт (8 двоичных разрядов), 2 байта (16 разрядов), 4 байта (32 разряда) и 8 байт (64 разряда).
Так, максимальное целое положительное число, которое можно записать с использованием 16 двоичных разрядов равно, 2-6-1=65535
| 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | И |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | т.д. |
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Метод непосредственного замещения
При использовании этого метода, число представляется в виде полинома (*).Он служит для перевода чисел из любой системы счисления вдесятичную. Действия при этом выполняются в той системе счисления, вкоторую мы переводим (для удобства).
Н-р: 1) 137 (8)= 1*82 +3*81 +7*80=64+24+7=95 (10)
2) 1010 (2)= 1*23 +0*22 +1*21 +0*20=8+2= 10 (10)
3) 85(16)= 8* 161 +5*160= 128+5=133(10)
Но использовать этот метод для перевода из 10-ой в любую другую сс неудобно, т. к. в этом случае надо заранее знать представление чисел в этой системе и арифметические операции в ней.
Существует удобные методы перевода чисел из 10-ой сс в любую. Действия при этом выполняются в той сс, из которой мы переводим. При переводе из 10-ой сс в любую другую следует преобразовывать отдельно целую и отдельно дробную части числа.
2. Метод последовательного деления на основание сс. ( Этот метод используется только для целых чисел.)
Правило: Для перевода целого числа из одной системы счисления в другую, необходимо последовательно делить это число и промежуточные частные на основание той сс, в которую мы переводим. Деление производится до тех пор, пока частное не окажется меньше делителя. Полученные остатки и последнее частное дадут искомое изображение числа, причем первый остаток записывается в младший разряд, а последнее частное в старший разряд числа.
Н-р: 1) 135(10) =?(2)
| 135 | 2 | ||||||
| 134 | 67 | 2 | |||||
| 1 | 66 | 33 | 2 | ||||
| 1 | 32 | 16 | 2 | ||||
| 1 | 16 | 8 | 2 | ||||
| 0 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 0 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
135(10)=10000111(2)
2) 167(10)=?(8) 167(10)=248(8)
| 167 | 8 | |
| 160 | 20 | 8 |
| 8 | 16 | 2 |
| 4 |
3.Использование разрядной сетки (таблицы степеней числа 2)
Правило: Десятичное число получается путем складывания чисел в таблице, начиная с самого большого числа, максимально приближенного к данному. При этом, то число которое вошло в сумму фиксируем 1, а если не вошло -0.
Н-р. 135(10)=128+4+2+1=10000111(2)
Перевод из 2-ой в 8-ую и 16-ую и обратно
а) Для перевода 8-ного (16-ного) в 2-ую сс достаточно каждую 8-ую (16-ую) цифру заменить равным ей трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом – двоичной триадой (двоичной тетрадой), если она окажется неполной, ее следует дополнить нулями.
Н-р: 1) 346, 23(8)= 011 100 110, 010 011(2)
2) DA1F(16)= 1101 1010 0001 1111(2)
б) Для перевода числа из 2-ой сс в 8-ую (16-ую) сс достаточно разбить его на число влево и вправо от запятой на группы по 3 (4) разряда и заменить каждую триаду (тетраду) соответствующей 8-ой (16-ой) цифрой.
Н-р: 1011110110,110110111101(2)=566,6675(8) (176, DBD(16))
Перевод из 2-ой с/с в десятичную.
1) Метод непосредственного замещения.
2) Использование разрядной сетки.
Н-р: 111001(2)= 25+24+23+20= 57(10)
