Коррекция статистических выводов при наличии сезонности. Фиктивные переменные

Приведенный ниже график показывает динамику изменения совокупного располагаемого дохода DPI и объемов продаж SALES лыжного инвентаря в США (квартальные данные; DPI — в млрд долларов, SALES — в млн долларов, в ценах 1972 г.).

Оценивание линейной модели связи указанных переменных дает следующие результаты.

Dependent Variable: SALES
Method: Least Squares
Sample: 1964:1 1973:4
Included observations: 40
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	29.97613	6.463626	4.637665	0.0000
DPI	0.108402	0.036799	2.945768	0.0055
R-squared	0.185904	Mean dependent var		48.94571
Adjusted R-squared	0.164481	S. D. dependent var		3.852032
S. E. of regression	3.521017	Akaike info criterion		5.404084
Sum squared resid	471.1074	Schwarz criterion		5.488528
Log likelihood	–106.0817	F-statistic		8.677546
Durbin-Watson stat	1.874403	Prob (F-statistic)		0.005475

Коэффициент при переменной  статистически значим. Однако график стандартизованных остатков (приведенный для удобства в двух формах)

обнаруживает явную неадекватность построенной модели имеющимся наблюдениям. Однако характер этой неадекватности таков, что он не улавливается критерием Дарбина-Уотсона: значение  статистики Дарбина-Уотсона близко к . И это не удивительно: за положительными остатками с равным успехом следуют как положительные, так и отрицательные остатки, что соответствует практическому отсутствию корреляции между соседними ошибками и подтверждается диаграммой рассеяния

(Здесь  — переменная, образованная остатками от подобранной модели линейной связи, а — переменная, образованная запаздывающими на один квартал значениями переменной .)

В то же время, налицо отрицательная коррелированность остатков для наблюдений, отстоящих на два квартала, и положительная — для наблюдений, отстоящих на четыре квартала:

В отличие от критерия Дарбина-Уотсона, критерий Бройша-Годфри «замечает» такую коррелированность: допуская коррелированность ошибок для наблюдений, разделенных двумя кварталами, получаем , что ведет к безусловному отклонению гипотезы о независимости ошибок.

Обратим теперь внимание на весьма специфическое поведение остатков. Все остатки, соответствуюшие первому и четвертому кварталам, положительны, а все (за исключением двух) остатки, соответствующие второму и третьему кварталам, отрицательны. Такое положение, конечно, просто отражает тот факт, что спрос на зимний спортивный инвентарь возрастает в осенне-зимний период и снижается в весенне-летний период года, т. е. имеет сезонный характер.

Построенная нами модель не учитывает фактор сезонности спроса и потому оказывается неадекватной. Вследствие этого, такая модель не может, в частности, использоваться для прогнозирования объема спроса в зависимости от величины совокупного располагаемого дохода.

Для коррекции моделей связи в подобных ситуациях часто привлекают искусственно построенные переменные — «фиктивные переменные» («dummy» variables). В нашем случае в качестве такой дополнительной переменной можно взять, например, переменную , значение которой равно  для первого и четвертого кварталов и равно  для второго и третьего кварталов. Добавление такой переменной в качестве объясняющей позволяет учесть сезонные колебания спроса. Оценивание расширенной модели дает следующие результаты.

 

Dependent Variable: SALES
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	26.21787	3.152042	8.317742	0.0000
DPI	0.112653	0.017847	6.312227	0.0000
DUMMY	6.028524	0.539997	11.16399	0.0000
R-squared	0.813644	Mean dependent var		48.94571
Adjusted R-squared	0.803571	S. D. dependent var		3.852032
S. E. of regression	1.707233	Akaike info criterion		3.979663
Sum squared resid	107.8419	Schwarz criterion		4.106329
Log likelihood	-76.59327	F-statistic		80.77244
Durbin-Watson stat	1.452616	Prob (F-statistic)		0.000000

 

Оцененное значение  коэффициента при переменной  фактически означает, что спрос на лыжный инвентарь в течение первого и четвертого кварталов возрастает по сравнению со спросом в течение второго и четвертого кварталов в среднем примерно на   млн долларов (в ценах 1972 г.). Следующий график иллюстрирует качество подобранной расширенной модели.

На сей раз значение  для статистики критерия Бройша-Годфри равно  против прежнего значения , так что этот критерий теперь не отвергает гипотезу независимости случайных ошибок .

По-существу, мы подобрали две различные модели линейной связи между  и :

модель

для весенне-летнего периода;

модель

для осенне-зимнего периода.

При этом, предельная склонность к закупке лыжного инвентаря в обеих моделях остается одинаковой и оценивается величиной .

Замечание. Вместо подбора отдельных моделей для осенне-зимнего и весенне-летнего периодов можно было бы заняться подбором отдельных моделей для каждого из четырех кварталов года. С этой целью в качестве дополнительных объясняющих переменных можно взять, например, переменные , принимающие значение , соответственно, в четвертом, первом и втором кварталах, и равные нулю в остальных кварталах. При оценивании такой расширенной модели для наших данных оказывается незначимым коэффициент при , что означает близость в среднем уровней продаж во втором и в третьем кварталах. Более того, оказываются близкими оценки коэффициентов при переменных  и . Гипотеза о совпадении двух последних коэффициентов не отвергается, и в итоге мы возвращаемся к модели с одной фиктивной переменной , которую мы уже оценили ранее.

Использование фиктивных переменных полезно при анализе агрегированных (объединенных) данных, полученных при объединении наблюдений, относящихся к различным полам (мужчины и женщины), к различным возрастным, языковым и социальным группам, к различным периодам времени. В таких ситуациях модели, построенные по отдельным группам, могут существенно различаться, и тогда модель, построенная по объединенным данным, не учитывает этого различия. Привлечение фиктивных переменных позволяет оценить значимость такого различия и по результатам этой оценки остановиться на модели с агрегированными данными или на модели, в которой учитывается различие параметров связи для различных групп (периодов времени).

В качестве примера, попробуем построить модель связи между переменными  и , которые в 15 наблюдениях имели следующие значения:

X	Z	X	Z	X	Z
1	1.257	6	0.865	11	1.804
2	1.812	7	1.930	12	1.956
3	3.641	8	2.944	13	3.134
4	4.401	9	4.316	14	4.649
5	5.561	10	5.323	15	4.559

Этим данным соответствует приведенная ниже диаграмма рассеяния;

Прямая на диаграмме соответствует подобранной модели связи

;

- статистика для коэффициента при  принимает значение , что дает  и ведет к неотвержению гипотезы о равенстве этого коэффициента нулю. Регрессия переменной  на переменную признается незначимой.

График указывает на наличие трех режимов линейной связи между переменными и , соответствующим 5 первым, 5 центральным и 5 последним наблюдениям. Коэффициент при  кажется одинаковым для всех трех режимов, тогда как постоянные различаются.

В то же время, график остатков от подобранной модели связи явно указывает на неправильную спецификацию модели:

Чтобы учесть обнаруженное по графику остатков наличие трех режимов, привлечем в качестве дополнительных объясняющих переменных две фиктивные переменные: переменную , равную  в пятицентральных наблюдениях и равную  в остальных наблюдениях, а также переменную , равную  в пяти последних наблюдениях и равную  в остальных наблюдениях. Оценивание расширенной модели с участием этих дополнительных объясняющих переменных дает следующий результат:

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	0.264368	0.274073	0.964591	0.3555
X	1.023398	0.070765	14.46185	0.0000
D2	-5.375960	0.430449	-12.48920	0.0000
D3	-10.34806	0.748910	-13.81749	0.0000
R-squared	0.950286	Mean dependent var		3.210213
Durbin-Watson stat	2.205754	Prob (F-statistic)		0.000000

На этот раз регрессия оказывается не только статистически значимой, но и имеет очень высокую значимость; то же относится и к коэффициентам при переменных ,  и . Высокая значимость двух последних коэффициентов подтверждает значимое отличие констант в моделях линейной связи между переменными и .

В заключение обратимся опять к примеру, рассмотренному в параграфе 3.3. Мы обнаружили там, что модель линейной связи

оказалась неудовлетворительной, поскольку анализ остатков от оцененной модели выявил гетероскедастичность и автокоррелированность ошибок и отличие распределения ошибок от нормального. Приведенные там график зависимости стандартизованных остатков  от номера наблюдений и его вариант в виде зависимости от года наблюдения указывают на явную разницу в поведении остатков в первой части периода наблюдений (до 1972 года) и во второй его части (1973-1985 годы). Такое различие в поведении остатков свидетельствует о том, что в 1973 году произошел структурный сдвиг в экономической ситуации, связанный с мировым топливо-энергетическим кризисом, который изменил характер связи между рассматриваемыми макроэкономическими факторами. Последнее могло, например, выразиться в изменении значений параметров  при переходе ко второй части периода наблюдений. Возможность такого изменения учитывает расширенная модель

Здесь

 - фиктивная переменная, равная  для  (что соответствует периоду с 1959 по 1972 год) и равная  для  (что соответствует периоду с 1973 по 1985 год),

 - фиктивная переменная, равная  для  и равная  для ,

 - переменная, равная  для   и равная  для ,

 - переменная, равная  для  и равная  для ,

 - переменная, равная  для  и равная  для , 

- переменная, равная  для   и равная  для .

Заметим, что при этом

 

В рамках расширенной модели проверим гипотезу

используя -критерий. Значению -статистики  соответствует -значение , так что гипотеза  отвергается, и это говорит об изменении хотя бы одного из параметров   при переходе ко второй части периода наблюдений. Поскольку оценки параметров   и  статистически незначимы (им соответствуют -значения  и ), проверим гипотезу о равенстве нулю обоих этих параметров. Получаемое -значение  означает, что последняя гипотеза не отвергается, так что допуская изменение параметров модели при переходе ко второй части периода наблюдений, можно вообще отказаться от включения в модель переменной  и ограничиться моделью

Оценивание этой модели дает следующие результаты: ,

Гипотеза   здесь отвергается , как и гипотеза  , так что структурный сдвиг затрагивает и постоянную и коэффициент при .

Значение статистики Дарбина-Уотсона равно   и не выявляет автокоррелированности ошибок. К тому же результату приводит и применение критерия Бройша-Годфри с . Критерий Уайта дает , не выявляя гетероскедастичности, а критерий Жарка-Бера дает , не выявляя существенных отклонений распределения ошибок от нормального.

Вспомним, однако, про критерий Голдфелда-Квандта. Опять выделяя периоды с 1960 по 1969 год и с 1976 по 1985 год, получаем значение -статистики , соответствующее , так что на сей раз и этот критерий не обнаруживает существенной гетероскедастичности.

Тем самым, мы имеем основания принять в качестве возможной модели наблюдений, объясняющей изменения объема совокупного потребления на периоде с 1959 по 1985 год, оцененную модель

Эту модель можно также записать в виде

Соответственно последней форме записи такая модель называется двухфазной линейной регрессией ( или линейной моделью с переключением). Заметим, наконец, что допустив возможность изменения постоянной и коэффициента при  при переходе ко второй части периода наблюдений, мы можем допустить при этом и изменение дисперсии ошибок, т.е. полагать, что  для  и  для . Оценки для   и  в этом случае равны, соответственно,  и .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках короткого вводного курса мы успели рассмотреть только основы построения и статистического анализа моделей связи между экономическими факторами. Базовым являлось предположение о том, что объясняющие переменные являются неслучайными величинами, на которые накладываются случайные ошибки, имеющие нормальное распределение.

Отказ от предположения нормальности распределения ошибок в модели наблюдений во многих ситуациях компенсируется возможностью использовать изложенные методы при “больших выборках”, т.е. при большом количестве наблюдений. Отказ от предположения о неслучайном характере объясняющих переменных чреват более серьезными последствиями и требует применения более тонких и сложных методов статистического анализа, изучение которых, в свою очередь, требует существенных знаний в области теории вероятностей и математической статистики. Особенно это относится к исследованию связей между переменными, эволюционирующими во времени (временными рядами).

Как уже отмечалось в Предисловии, заинтересованный читатель может обратиться далее к цитировавшейся там книге К.Доугерти, где в доступной форме изложены некоторые вопросы, связанные с неслучайностью объясняющих переменных, моделированием динамических процессов и оцениванием систем одновременных уравнений. Полезно также обратиться к книге Я.Р.Магнуса, П.К.Катышева и А.А.Пересецкого (1997), в которой те же вопросы изложены в более компактном, но и более формальном виде. Затем можно ознакомиться с основами статистического анализа временных рядов, обратившись к книге С.А.Айвазяна и В.С.Мхитаряна (1998). Разнообразные эконометрические модели и методы анализа этих моделей обсуждаются в книге W. H. Green (1993). Подробный обзор современных методов статистического анализа связей между временными рядами, имеющими выраженный тренд, имеется в книге Maddala G.,S., Kim In-Moo (1999), однако чтение этой книги требует существенной математической подготовки. В приводимом ниже списке литературы перечислены и некоторые другие руководства различной степени сложности, изданные в последнее десятилетие.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. (1998), Прикладная статистика и основы эконометрики. М., ЮНИТИ.-1022 с.

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. (1997), Эконометрика. Начальный курс. 3-е изд. М., Дело.-400 с.

Доугерти Кристофер (1997), Введение в эконометрику. Пер. с англ.- М., ИНФРА-М.- XIV, 402 c.

Maddala G.L., Kim In-Moo (1999), Unit Roots, Cointegration, and Structural Change. Cambridge Univ. Press.

Davidson R., MacKinnon J.G. (1993), Estimation and Inference in Econometrics. Oxford Univ. Press.

Hatanaka M. (1996), Time-Series Based Econometrics. Unit Root and Cointegration. Oxford Univ. Press.

Green W.H. (1993), Econometric Analysis (second edition). Macmillan Publishing Company.

Johnston, J., DiNardo J. (1997), Econometric Methods. McGraw-Hill, Inc.

 

 

[1] В литературе по эконометрике математическое ожидание случайной величины X обозначают иногда символом M (X), а для дисперсии случайной величины X используют также обозначения Var (X) и V (X).

[2] Заметим, что в этом и других подобных выражениях знак £ можно свободно заменять знаком <, а знак ³ знаком > (и обратно), поскольку мы всегда предполагаем существование функции плотности распределений рассматриваемых случайных величин.