Таблица 1
Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года
t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 2 | 13 | 14 | 15 | 16 |
Y(t) | 28 | 36 | 43 | 28 | 31 | 40 | 49 | 30 | 34 | 44 | 52 | 33 | 39 | 48 | 58 | 36 |
Решение
Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
, (1)
где k – период упреждения;
Yр(t) — расчетное значение экономического показателя для t -гo периода;
a(t), b(t) и F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;
F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
L - период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L =12).
Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:
; (2)
; (3)
. (4)
Параметры сглаживания a 1, a 2 и a 3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).
Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а (1) и b (1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t =1-1=0). Значения а (0) и b (0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.
Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:
. (5)
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а (0) и b (0) по формулам 6 - 9:
; (6)
; (7)
; (8)
. (9)
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а (0) и b (0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:
Таблица 2
t | Y(t) | t-tcp | Y-Ycp | (t-tcp)2 | (Y-Ycp)(t-tcp) | |
1 | 28 | -3,5 | -7,625 | 12,25 | 26,6875 | |
2 | 36 | -2,5 | 0,375 | 6,25 | -0,9375 | |
3 | 43 | -1,5 | 7,375 | 2,25 | -11,0625 | |
4 | 28 | -0,5 | -7,625 | 0,25 | 3,8125 | |
5 | 31 | 0,5 | -4,625 | 0,25 | -2,3125 | |
6 | 40 | 1,5 | 4,375 | 2,25 | 6,5625 | |
7 | 49 | 2,5 | 13,375 | 6,25 | 33,4375 | |
8 | 30 | 3,5 | -5,625 | 12,25 | -19,6875 | |
S | 36 | 285 | 0 | 0 | 42 | 36,5 |
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp(t) =31,714+0,869· t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yр(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.
Таблица 3
Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)
t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Y(t) | 28 | 36 | 43 | 28 | 31 | 40 | 49 | 30 |
Yp(t) | 32,583 | 33,452 | 34,321 | 35,190 | 306,060 | 36,929 | 37,798 | 38,667 |
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1) / Yр(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t =5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
F (-3) = [ Y (1) / Yp (1) + Y (5) / Yp (5) ] / 2=[ 28 / 32,583 + 31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.
Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:
F (-2) = [ Y (2) / Yp (2) + Y (6) / Yp (6) ] / 2 = 1,0797;
F (-1) = [ Y (3) / Yp (3) + Y (7) / Yp (7) ] / 2 = 1,2746;
F (0) = [ Y (4) / Yp (4) + Y (8) / Yp (8) ] / 2 = 0,7858.
Оценив значения а (0), b (0), а также F (-3), F (-2), F (-1) и F (0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.
Из условия задачи имеем параметры сглаживания a 1=0,3; a 2=0,6; a 3=0,3. Рассчитаем значения Yp (t), a (t), b (t) и F (t) для t =l.
Из уравнения 1, полагая что t =0, k =1, находим Yр(1):
Из уравнений 2 - 4, полагая что t =1, находим:
;
;
.
Аналогично рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t =2:
;
;
;
для t =3:
;
;
;
для t =4:
;
;
;
для t =5:
Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F(t-L), уточненные в предыдущем году (L =4):
;
;
;
Продолжая аналогично для, t = 6,7,8,…,16 строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 4). Максимальное значение t, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кваралов. Максимальное значение t равно 16.
Таблица 4
Модель Хольта-Уинтерса
t | Y(t) | a(t) | b(t) | F(t) | Yp(t) | Абс.погр., E(t) | Отн.погр., % |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
0 | 31,71 | 0,87 | 0,7858 | ||||
1 | 28,0 | 32,58 | 0,87 | 0,8594 | 28,01 | -0,01 | 0,02 |
2 | 36,0 | 33,42 | 0,86 | 1,0782 | 36,11 | -0,11 | 0,32 |
3 | 43,0 | 34,11 | 0,81 | 1,2661 | 43,69 | -0,69 | 1,60 |
4 | 28,0 | 35,14 | 0,87 | 0,7924 | 27,44 | 0,56 | 1,99 |
5 | 31,0 | 36,03 | 0,88 | 0,8600 | 30,95 | 0,05 | 0,16 |
6 | 40,0 | 36,97 | 0,90 | 1,0805 | 39,80 | 0,20 | 0,51 |
7 | 49,0 | 38,11 | 0,97 | 1,2778 | 47,94 | 1,06 | 2,17 |
8 | 30,0 | 38,72 | 0,86 | 19 | 30,97 | -0,97 | 3,24 |
9 | 34,0 | 39,57 | 0,86 | 0,8596 | 34,04 | -0,04 | 0,11 |
10 | 44,0 | 40,51 | 0,88 | 1,0839 | 43,68 | 0,32 | 0,73 |
11 | 52,0 | 41,19 | 0,82 | 1,2687 | 52,90 | -0,90 | 1,73 |
12 | 33,0 | 42,07 | 0,84 | 0,7834 | 32,84 | 0,16 | 0,47 |
13 | 39,0 | 43,64 | 1,06 | 0,8800 | 36,88 | 2,12 | 5,43 |
14 | 48,0 | 44,58 | 1,02 | 1,0796 | 48,45 | -0,45 | 0,95 |
15 | 58,0 | 45,64 | 1,03 | 1,2700 | 57,85 | 0,15 | 0,25 |
16 | 36,0 | 46,45 | 0,97 | 0,7783 | 36,56 | -0,56 | 1,56 |