Пусть задан универсум U. Тогда для всех A,B,CÌ U выполняются следующие свойства (табл. 2.3.1):
Свойства операций над множествами
Для объединения (È) | Для пересечения (Ç) |
Идемпотентность | |
A È A = A | A Ç A =A |
Коммутативность | |
A È B = B È A | A Ç B = B Ç A |
Ассоциативность | |
A È (B È C) = (A È B) È C | A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C |
Дистрибутивность | |
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) | A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) |
Поглощение | |
(A Ç B) È A = A | (A È B) Ç A = A |
Свойства нуля | |
A È Æ = A | A Ç Æ = Æ |
Свойства единицы | |
A È U = U | A Ç U = U |
Инволютивность | |
= A | |
Законы де Моргана | |
Свойства дополнения | |
Выражение для разности | |
Выражение для симметрической разности | |
В справедливости перечисленных свойств можно убедиться различными способами. Например, нарисовать диаграммы Эйлера для левой и правой частей равенства и убедиться, что они совпадают, или же провести формальное рассуждение для каждого равенства. Рассмотрим для примера первое равенство: A È A = А. Возьмем произвольный элемент х, принадлежащий левой части равенства, х Î A È A. По определению операции объединения È имеем хÎ A È хÎ A. В любом случае хÎ A. Взяв произвольный элемент из множества в левой части равенства, обнаружили, что он принадлежит множеству в правой части. Отсюда по определению включения множеств получаем, что A È A Ì А. Пусть теперь хÎ A. Тогда, очевидно, верно хÎ A È хÎ A. Отсюда по определению операции объединения имеем х Î A È A. Таким образом, А Ì A È A. Следовательно, по определению равенства множеств, A È A = А. Аналогичные рассуждения нетрудно провести и для остальных равенств.
|
|
Докажем свойство дистрибутивности для операции объединения на диаграммах Эйлера-Венна (рис 2.3.1):
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
Рис. 2.3.1