2020-01-15
151
Пусть задан универсум U. Тогда для всех A,B,CÌ U выполняются следующие свойства (табл. 2.3.1):
Свойства операций над множествами
| Для объединения (È) | Для пересечения (Ç) |
| Идемпотентность | |
| A È A = A | A Ç A =A |
| Коммутативность | |
| A È B = B È A | A Ç B = B Ç A |
| Ассоциативность | |
| A È (B È C) = (A È B) È C | A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C |
| Дистрибутивность | |
| A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) | A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) |
| Поглощение | |
| (A Ç B) È A = A | (A È B) Ç A = A |
| Свойства нуля | |
| A È Æ = A | A Ç Æ = Æ |
| Свойства единицы | |
| A È U = U | A Ç U = U |
| Инволютивность | |
|
| |
| Законы де Моргана | |
| 
|
| Свойства дополнения | |
| 
|
| Выражение для разности | |
|
| |
| Выражение для симметрической разности | |
|
| |
= A
В справедливости перечисленных свойств можно убедиться различными способами. Например, нарисовать диаграммы Эйлера для левой и правой частей равенства и убедиться, что они совпадают, или же провести формальное рассуждение для каждого равенства. Рассмотрим для примера первое равенство: A È A = А. Возьмем произвольный элемент х, принадлежащий левой части равенства, х Î A È A. По определению операции объединения È имеем хÎ A È хÎ A. В любом случае хÎ A. Взяв произвольный элемент из множества в левой части равенства, обнаружили, что он принадлежит множеству в правой части. Отсюда по определению включения множеств получаем, что A È A Ì А. Пусть теперь хÎ A. Тогда, очевидно, верно хÎ A È хÎ A. Отсюда по определению операции объединения имеем х Î A È A. Таким образом, А Ì A È A. Следовательно, по определению равенства множеств, A È A = А. Аналогичные рассуждения нетрудно провести и для остальных равенств.
Докажем свойство дистрибутивности для операции объединения на диаграммах Эйлера-Венна (рис 2.3.1):
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
Рис. 2.3.1
