Решение одного дифференциального уравнения

Первым этапом анализа достоверности была проверка правильности решения одного дифференциального уравнения. Полученное численное решение сравнивается с аналитическим.

Пусть требуется решить уравнение:

при начальном условии y(0)=1, 0<=x<=1, и шаге интегрирования h=0.1. Это линейное уравнение, имеющее следующее точное решение:

которое поможет нам сравнить точность численного решения для случая с постоянным шагом, т.к. точность решений с переменным шагом выше. Результаты расчета представлены в Таблице 1.Как видно из таблицы, отличие между численными и аналитическими решениями удовлетворительное даже для такого большого шага, и не превышает 2%. Теперь решим этот же пример тем же методом, но с переменным шагом. Получаем любопытные зависимости точности от выбора шага, а также шага сходимости, - которые носят периодический характер. Результаты исследования приведены в таблице 2. Как мы видим, погрешность резко уменьшается с использованием метода с переменным шагом, и показывает очень высокую точность решения для численных методов, не превышающею 1%.

Таблица 2

Таблица 2

Иллюстрация решения данного дифференциального уравнения в виде графика – приведена в Приложении 2.