Гармоническая линеаризация

Гармоническое представление сигналов может быть положено
в основу приближенного метода исследования периодических режимов в нелинейных автоматических системах. Наличие в системе одного или нескольких нелинейных звеньев при определенных условиях
приводит к появлению в системе предельных циклов, то есть собственных периодических колебаний системы при отсутствии внешних воздействий. Параметры этих колебаний (амплитуда и частота) могут быть приближенно определены путем гармонической линеаризации
нелинейностей, которая основана на принципе гармонического балан-са [3].

Этот принцип вытекает из следующего положения – несмотря на то, что колебания нелинейных систем редко описываются простыми гармоническими функциями времени, они чаще всего периодичны или близки к периодическим колебаниям, которые могут быть представлены в виде ряда Фурье из синусных и косинусных гармоник. Во многих случаях существенной оказывается лишь амплитуда основной гармоники. Согласно принципу гармонического баланса исходное нелинейное уравнение можно заменить линейным, решение которого совпадает с первым приближением решения нелинейного уравнения. Этот способ называется методом эквивалентной линеаризации. Более точные приближения решения могут быть получены, если дополнительно к основной гармонике учесть и высшие так, чтобы исходное нелинейное уравнение удовлетворялось по всем частотам учтенных компонент [4].
За линеаризацию приходится платить тем, что коэффициенты получаемого линейного уравнения оказываются переменными, зависящими
от параметров входного сигнала (амплитуды и частоты) или от вре-мени.

Рассмотрим некоторую автоматическую систему, в состав которой входит нелинейное звено, описываемое уравнением вида:

, (6)

где – выходная величина;

– входная величина, изменяющаяся по синусоидальному закону;

f – нелинейная функция.

Выполним гармоническую линеаризацию уравнения (6), которое
с учетом изменения входного сигнала по гармоническому закону примет вид

. (7)

Разложим функцию в ряд Фурье:

(8)

Введя новую переменную , определим коэффициенты разложения

Предположим, что периодические колебания имеют симметричный характер, то есть в разложении (8) отсутствует постоянная составляющая, а также пренебрежем в этом разложении в соответствии с приведенными выше соображениями второй, третьей и другими высшими гармониками. Тогда вместо равенства (8) приближенно получим:

Учитывая, что

и введя обозначения

, (9)

, (10)

получим приближенную запись сигнала на выходе нелинейного
звена [3]:

(11)

Уравнение (11) представляет собой гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена автоматической системы. Другими словами, нелинейное уравнение (7) при гармонической линеаризации заменяется линейным уравнением (11), коэффициенты которого зависят от амплитуды входного сигнала .

К уравнению вида (11) могут быть отнесены, например, уравнения нелинейных звеньев, статические характеристики которых имеют петлю гистерезиса (рисунок 2). На рисунке 2 изображена характеристика нелинейного звена релейного типа с петлей гистерезиса. Наличие петли гистерезиса приводит к неоднозначной зависимости от , при этом значение зависит не от величины, а от знака производной Применительно к характеристике на рисунке 2 при рабочей является правая ветвь характеристики, а при – левая ветвь. Второе слагаемое в правой части уравнения (11) учитывает указанную зависимость от знака производной

Рисунок 2 – Нелинейное звено релейного типа

с петлей гистерезиса

Если статическая характеристика нелинейного звена является однозначной, то есть без петли гистерезиса (рисунок 3), то выходной сигнал звена не зависит ни от величины, ни от знака производной входного сигнала. В этом случае гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена примет вид

где определяется равенством (9). Коэффициент для таких нелинейностей равен нулю.

Рисунок 3 – Нелинейное звено релейного типа

с идеальной статической характеристикой

Если выходной сигнал нелинейного звена системы зависит не только от значения входного сигнала , но и от величины производной , то есть имеется нелинейность

то гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена примет вид [3]

где ,

В этом случае коэффициенты гармонической линеаризации оказываются зависящими от амплитуды и частоты синусоидального сигнала на входе нелинейного звена.

Практическая часть

Осуществить гармоническую линеаризацию нелинейного уравнения для звена:

1) релейного типа с петлей гистерезиса (см. рисунок 2);

2) релейного типа с идеальной статической характеристикой (см. рисунок 3).

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с.

2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М: Наука, 1975. – 767 с.

3. Иванов, В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. – М: Высшая школа, 1971. – 807 с.

4. Каннингхэм, В. Введение в теорию нелинейных систем /
В. Каннингхэм. – М. – Л: Госэнергоиздат, 1962. – 456 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………	3
1 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ В ОКРЕСТНОСТИ СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКИ…......................................................................................	6
1.1 Практическая часть………………………………………	7
2 КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ…………………………….	8
2.1 Практическая часть………………………………………	10
3 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ………………………..	11
3.1 Практическая часть…………………..………………….	15
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………….	16