Релятивістська задача двох тіл

У релятивістській механіці маси  та  тіл є функціями швидкостей руху (змінюються згідно з формулою Лоренца-Ейнштейна), тому зв’язана з центроїдом система відліку не буде інерційною. Проте, використовуючи розроблений Г.Г.Коріолісом підхід [8], можна зробити оцінку похибки, яка виникає при використанні припущення про інерційність зв’язаної з центроїдом системи відліку.

Уведемо поняття центра інерції (центроїда) з радіусом-вектором

,                                     (23)

як показано на мал.1.

 

Диференціюючи (23) за часом , обчислимо швидкість руху центроїда:

              (24)

Тут

                                (25)

– імпульс системи двох тіл. Серед різноманіття інерційних систем відліку можна вибрати таку, в якій сумарний імпульс системи тіл був би нульовим:

                                           (26)

де  – нуль-вектор. Таку систему відліку називатимемо ізодромною (супутньою). Принагідно відзначимо, що в класичній механіці пов’язана з центроїдом система відліку також є ізодромною. В ізодромній системі:

                                                                (27)

Швидкості змін мас тіл у релятивістській механіці визначаються рівнянням Лоренца-Айнштайна. Зважаючи на (27), для маси  будемо мати:

                     (28)

Введемо поняття зведеної маси  тіла за відношенням до :

.                                                             (29)

Без обмеження загальності у подальшому викладі вважатимемо, що

                                                                             (30)

Використовуючи зв’язки (26), (28), перепишемо формулу (24) для обчислення швидкості руху центроїда в ізодромній системі відліку в такому вигляді:

.                                 (31)

Враховуючи (28), дамо оцінку величини  поряд із :

                                  (32)

Терм

                                            (33)

досягає максимального значення при . Тому для реальних тіл, коли виконується умова великих зведених відстаней між ними, маємо:

.                                                       (34)

Початок координат  ізодромної системи відліку розмістимо всередині фігури, яку описує центроїд  при русі тіл. Зважаючи на (34), поперечник цієї фігури буде значно менший за . Тому, нехтуючи квадратичними ефектами, можна вважати, що при обчисленні сили взаємодії між тілами зміни вектора  практично не впливають на величину і напрям сили , обчисленої за посередництвом центроїда. Такий висновок дозволяє вводити поняття приєднаної маси за тими ж правилами, як і в класичній механіці [1].

Наведений аналіз показує, що в цілому форма траєкторії у релятивістській задачі двох тіл нічим суттєво не відрізняється від аналогічної, котра визначається засобами класичної механіки. Відмінності проявляються лише в інтегральних ефектах, тобто тих, які накопичуються в процесі руху. Одним із них є повертання перицентра орбіти. Нижче, використовуючи квазікласичний підхід, ми покажемо, як оцінити величину таких впливів.

Диференціюючи (31) за часом , визначимо прискорення центроїда:

. (35)

Зважаючи, що швидкість швидкості зміни маси  

                   (36)

та нехтуючи членами вищого порядку мализни, запишемо вираз для прискорення центроїда в наступному вигляді:

. (37)

У виразах (36) та (37)  – ґравітаційний радіус приєднаної [1] маси .

Порівняємо величини прискорення центроїда та напруженості  ґравітаційного поля, яке створюється приєднаною масою в околі орбіти тіла:

(38)

Із (38) видно, що це відношення не перевищує квадрата зведеної швидкості  руху тіла.

Тому, що швидкість  незначна в порівнянні з , а прискорення центроїда  мале в порівнянні з , вплив релятивістських змін мас тіл на форму траєкторії орбіти можна шукати методами наближених обчислень, наприклад, методом Пікара [1]. У механіці використання останнього методу збігається з класичним підходом [8] Г.Г. Коріоліса переходу від опису руху в інерційній до опису руху в неінерційній системах відліку:

                                     (39)

Врахування  зводить рівняння руху [3] до вигляду:

                    (40)

Розрахунок дає наступну швидкість  повертання перицентра орбіти:

                                    (41)

Функція (41) має екстремум при . У цьому випадку відносне відхилення частоти  від  при  складає:

                    (42)

Для планет Сонячної системи  незначне. Наприклад, для Юпітера .

У системі двох тіл зі співмірними масами необхідно враховувати і вплив на певертання перицентра руху другого тіла навколо центроїда. Момент сили , який вноситься в систему релятивістськими змінами маси , у  разів відрізняється від моменту . Обидва впливи додаються, тому при близьких масах  та  швидкість повертання перицентра може бути більшою не на 25%, а на цілих 100%.