2020-01-14
501
Пусть известно, что нелинейное уравнение 
имеет на отрезке 
единственный вещественный корень 
. Причем, производные 
- непрерывны и сохраняют определенный знаки на отрезке 
. Требуется найти этот корень с заданной точностью 
. Найдем какое-либо 
-е приближенное значение корня 
и уточним его методом Ньютона следующим образом.
Пусть
. (2.1)
По формуле Тейлора получим
.
Следовательно, 
.
Внося эту правку в формулу (2.1), получим рабочую формулу метода Ньютона вида:
(2.2)
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой 
касательной, проведенной в некоторой точке 
этой кривой.
Для определенности положим 
и 
. Выберем начальное приближение 
, для которого . Проведем касательную к кривой 
в точке 
. За первое приближение 
берем точку пересечения касательной с осью 
. На кривой определим точку 
и проведем касательную к кривой в этой точке. Найдем следующее приближение 
и так далее (рис. 2.1).
Рис. 2.1.
Составим уравнение касательной в точке 
:
.
Полагая 
, из уравнения касательной получим итерационную формулу метода Ньютона:
.
Если в качестве начального приближения взять другой конец отрезка 
, то следующее приближение 
.
Рассмотрим метод определения необходимого конца отрезка, выбираемого в качестве начального приближения 
.
Теорема. Если 
и производные 
не равны нулю и сохраняют определенные знаки на отрезке 
, то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству 
, по методу Ньютона, заданному формулой (2.2), можно вычислить единственный корень 
уравнения с любой степенью точности.
Доказательство.
Пусть для определенности 
при 
(остальные случаи рассматриваются аналогично).
Из неравенства 
следует, что 
, т.е. 
.
Докажем, что все приближения 
расположены правее , т.е. 
, а значит 
.
Доказательство проведем методом индукции:
а) 
;
б) предположим, что 
;
в) докажем, что 
.
Точное решение уравнения (1.1) можно представить в виде
.
Применяя формулу Тейлора, получим:
(2.3)
где 
.
Так как по условию теоремы 
, то последнее слагаемое в соотношении (2.3) положительное, следовательно,
.
Отсюда, в силу того, что 
, получим:
.
Таким образом доказали, что все последовательные приближения 
, т.е. находятся правее 
, и, следовательно 
.
Из соотношения (2.2), учитывая знаки 
и 
, следует, что 
, т.е. последовательные приближения 
образуют ограниченную монотонную убывающую последовательность, т.е. эта последовательность имеет конечный предел, который обозначим 
. Перейдем к пределу при 
в левой и правой частях соотношения (2.2), получим:
,
т.е. 
. Отсюда следует, что 
, т.е. 
. А это означает, что последовательные приближения сходятся к корню уравнения (1.1), что и требовалось доказать.
Вывод: в методе Ньютона в качестве начального приближения 
выбирается тот конец отрезка , которому отвечает ордината того же знака, что и 
, т.е. выполняется достаточное условие сходимости
. (2.4)
Следует заметить, что чем больше числовое значение 
в окрестности корня , тем меньше правка 
. Поэтому методом Ньютона удобно пользоваться, когда в окрестности искомого корня график функции 
имеет большую крутизну (т.е. 
, тогда 
). Если кривая вблизи точки пересечения с осью почти горизонтальна (т.е. 
, тогда 
), то применять метод Ньютона для решения уравнения (1.1) не рекомендуется.
Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если считать 
. Тогда достаточное условие сходимости метода простых итераций примет вид:
для всех 
. (2.5)
Если выполнено условие (2.5), то итерационный процесс, заданный формулой (2.2), будет сходиться при произвольном выборе начального приближения .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе было рассмотрено решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
Достоинства метода Ньютона:
1) обладает достаточно большой скоростью сходимости, близкой к квадратичной;
2) достаточно простое получение итерационной формулы.
Недостатки метода Ньютона:
1) сходится не при любом выборе начального приближения;
2) применим только в тех случаях, когда производная функции на всей области определения не равна нулю.
В некоторых случаях для решения систем нелинейных уравнений целесообразно применять модифицированный метод Ньютона.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. «Элементы численного анализа и математической обработки результата опыта» М., Наука 1970., 432 с.
2. Красильников В.В. Математичемкие методы в экономике. Набережные Челны, 1999, 475 с.
3. Горбунов Д.А., Комиссарова Е.М. Вычислительная математика: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 148 с.
