Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а₀>0 определитель Гурвица, составленный для характеристического уравнения , и все его диагональные миноры были положительны.

Определитель Гурвица имеет вид:

(5)

Диагональные миноры определяются соотношениями

(6)

Рассмотрим частные случаи

1. Для системы первого порядка (n = 1) характеристическое уравнение имеет вид:

Условие устойчивости:

2. Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:

Условие устойчивости:

4. Для системы третьего порядка (n = 3) характеристическое уравнение имеет вид:

Условие устойчивости:

Для систем 1-го и 2-го порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости системы. Для системы 3-го порядка должно выполняться дополнительное условие

Достоинство критерия:

1. Высокая точность, так как это алгебраический критерий.

2. Простота для систем невысокого порядка.

Недостатки критерия:

1. Необходимо иметь математическое описание системы.

2. Сложность применения для систем высокого порядка.

Рассмотрим примеры определения устойчивости по критерию Гурвица.

Пример 1. Определить устойчивость системы, если ее характеристическое уравнение имеет вид:

Условие устойчивости не выполняется, следовательно, система не устойчива.

Пример 2. Определить устойчивость если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Решение:

1. Определяем передаточную функцию замкнутой системы

2. Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости

Условие устойчивости выполняется, следовательно, система устойчива.

Пример 3. Для заданной системы (рис. 1) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.