Критерий устойчивости Михайлова

 

Для оценки устойчивости систем управления кроме алгебраических критериев, используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Доказательство частотных критериев базируется на следствии из принципа аргумента.

Допустим, задан полином

 

 (7)

 

			Для полюса в правой полуплоскости Для полюса в левой полуплоскости

 

 

Если система n – го порядка содержит m неустойчивых полюсов, то угол поворота вектора D (jw) равен:

 

 (8)

 

Формулировка критерия Михайлова:

Замкнутая система автоматического управления устойчива, если характеристическая кривая (годограф Михайлова), начинаясь на положительной вещественной оси в точке a_n, при изменении частоты 0£ w £ ¥ последовательно проходит число квадрантов равное степени характеристического полинома.

При этом

 

 (9)

 

Пример 4. Допустим, задан характеристический полином системы

 

 

Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3a).

Пример 5. Допустим, задан характеристический полином системы

 

 

Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3б).

 

Пример 6. Допустим, задан характеристический полином системы

 

 

Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3в).

 

 

Рис. 3

 

Пример. Для заданной системы (рис. 4) определить условие устойчивости, частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.

Определить устойчивость при T₁ = T₂ = 1 c и k_v = 1 c^-1.

 

 

 

Решение:

1. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы

 

где

2. Определяем передаточную функцию замкнутой системы

 

 

3. Запишем характеристическое уравнение

 

 

4. Определим частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления из условия границы устойчивости

 

 

Откуда частота собственных колебаний системы равна:

 

Критический коэффициент усиления равен:

 

5. Определим устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1.

 

 

5. Строим характеристическую кривую (рис. 5) по данным, приведенным в таблице 1.

 

Таблица 1

w	0		1	¥
X(w)	1	0	-1	-¥
Рис. 5   Y(w)	0		0	-¥

 

В соответствии с критерием Михайлова, рассматриваемая система является устойчивой.