Независимость собственных векторов

Существование линейно независимых векторов среди собственных, отвечающих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, определяется следующей теоремой.

Собственные векторы x₁, x₂, …, x_n оператора, отвечающие различным собственным значениям λ₁, λ₂, …, λ_n, линейно независимы.

На n линейно независимых собственных векторах можно построить базис n-мерного линейного векторного пространства.

Замечание. Определитель матрицы P – λE (соответственно характеристический многочлен) не зависит от выбора базиса.

|P’ – λE| =|T^-1PT – λE| =|T^-1PT- λ T^-1 E T | =|T^-1P- λ E T | =|T^-1||P- λ E T | |T|=|P- λ E T |

Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей P= в пространстве R².

Решение. Составим характеристическое уравнение:

|P – λ·E| = = λ²-5 λ+4=0

Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ₁=1, λ₂=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:

(P – λ₁ E) X=0 и (P – λ₂ E) X=0

В развернутом виде

Соответствующие однородные системы:

Общие решения систем:

и , где с₁, с₂ є R

Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ₁=1, λ₂=4, имеет вид ; , где с₁, с₂ є R. Векторы a₁=(1, 1), a₂=(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R².

Пусть e₁, e₂, …, e_n – собственные векторы линейного оператора в пространстве Rⁿ, которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e₁), (e₂), …, (e_n) по базису e₁, e₂, …, e_n примет вид

Отсюда следует, что a_ij= λ_i, если i=j и a_ij=0, если i≠j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:

Симметричный оператор

Определение. Линейный оператор в евклидовом пространстве Rⁿ называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства Rⁿ выполняется равенство

( (x), y)= (x, (y))