2020-01-14
502
Реферат
«Тайны математики»
Выполнила:
Ученица 6 «В» класса
Назарова Дарья
Руководитель:
Джинисян Н.Г.
г. Томск - 2012
Содержание
I. Введение………………………………………………………………3-4
Актуальность темы.
Цель и задачи.
Краткий обзор и анализ информационной базы
II. Основная часть
Глава 1. История появления магического квадрата
1.1. Определение магического квадрата…………………5-6
1.2. Первый магический квадрат…………………………7-8
1.3. Дьявольский магический квадрат…………………9-10
1.4. Магический квадрат Ян Хуэя………………………11
Квадрат Генри Э.Дьюдени и Аллана
У. Джонсона-мл……………………………………………..12-13
Глава 2. Основная терминология……………………………14
Глава3.Способы заполнения магических квадратов нечетного
порядка
3.1. Метод А. де ла Лубера (сиамский метод)………………….15
3.2. Метод Ф. де ла Ира……………………………………………16
Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной
Фигуры……………………………………………………………17-18
Глава 4. Способы заполнения магических квадратов порядка,
кратного четырем……………………………………………………19
Глава5. Применение магических квадратов…………20 -21
III. Заключение………………………………………………………22
IV. Список использованной литературы……………………………23
V. Приложение (подборка задач)………………………………24-25
Введение
Составление магических квадратов представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания, симметрии, классификации, обобщения и т. д.
А. Обри
Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил нам решить следующую задачу.
Задача: заполнить квадрат 33 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова. Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 28 учеников нашего класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 20-30. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному. Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это и побудило меня заняться данной темой, так как считаю, что для заполнения магических квадратов существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.
Перед собой я поставила цель: изучение способов заполнения магических квадратов и знакомство с историей их появления. Из поставленной цели я пришла к следующим задачам:
- изучить историю появления и названия магических квадратов;
- познакомиться с известными способами заполнения магических квадратов;
- составить авторские задачи на заполнения магических квадратов.
Я изучила достаточный объем литературы по данному, использовав глобальную Сеть Internet, я поняла, что данный вопрос интересен не только школьникам, но и тем, кому математика стала и профессией, и смыслом жизни. Особенно меня привлекли статьи Н.В. Макаровой и его книги «Волшебный мир магических квадратов», на своем сайте она пишет: «… Я начала писать её 30 лет назад, когда впервые познакомилась с магическими квадратами. В те годы в моём пользовании ещё не было Интернета, и материалы в основном брались из журналов «Наука и жизнь», которые я выписывала на протяжении многих лет.
В 1994 году в связи с очень сложными жизненными обстоятельствами эта работа была прервана. Возобновилась она только в июле 2007 года. В это время у меня, конечно, был уже и домашний компьютер, и Интернет.
А импульс к возобновлению работы был дан одной записью в Гостевой книге сайта, принадлежавшей Георгию Александрову. Он тоже очень давно занимается магическими квадратами и заинтересовался моими работами, о которых узнал из Википедии. Завязалась очень бурная переписка. Тогда и возникло непреодолимое желание продолжить исследования. Мы с Александровым месяца три (июль-сентябрь 2007 г.) сотрудничали, и это сотрудничество дало неплохие результаты…».
У меня возникла мысль, а может после проведенной работы, я смогу сотрудничать с автором?!! Но это пока мечты, а сейчас надо браться за дело! Вперед! Магические квадраты ждут меня!
II. Основная часть
Глава I. История появления магического квадрата.
1.1. МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.
Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2х2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3х3,так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.
Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4
В магическом квадрате 3х3 магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.
Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой–то клетке, примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому пишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом, опять – таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х3 доказывает его единственность.
Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).
С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 305 224 магических квадратов порядка 5. Причем, квадраты 5х5 были известны еще в средние века. Мусульмане, например, очень благоговейно относились к таким квадратом с цифрой 1 в середине, считая его символом единства Аллаха.
1.2. Магический квадрат - древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1, а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1, б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.
рис.1 рис.2
В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.
Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
1.3. Дьявольский квадрат. Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия). Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:
| 7 | 12 | 1 | 14 |
| 2 | 13 | 8 | 11 |
| 16 | 3 | 10 | 5 |
| 9 | 6 | 15 | 4 |
Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых "дьявольских" квадратов.
В «Общей таблице магических квадратов в четыре» Френикль привёл все 880 магических квадратов четвёртого порядка. Таблица занимает 43 страницы книги. Трудно представить себе, сколько времени заняла у Френикля эта работа. В 1705 г. в Париже было издано сочинение уже упомянутого ранее Филиппа де Лягира «Новые начертания и соображения о магических квадратах с их демонстрацией. Начертания магических квадратов при четном числе клеток в основании». Эта работа особенно интересна тем, что в ней Лягир впервые рассмотрел и описал особый тип магического квадрата, который он назвал «панмагическим». В нем содержится наибольшее число равных сумм чисел. В дальнейшем квадраты этого типа называли, также, «дьявольскими», «сатанинскими», «чертовскими». Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором с константой совпадают также суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях.
Ломаной диагональю называется диагональ, которая, дойдя до границы квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (на рисунке такую диагональ образуют закрашенные клетки).
| b | ||||||
| а |
Существует всего три дьявольских квадрата 4×4:
|
|
|
Современные математики называют подобные квадраты «совершенными». Стало быть, «совершенный» и «дьявольский» для современных математиков – синонимы!
Но есть еще один МК не менее интересный, чем дьявольский. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16, который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.
Этот квадрат является самым магически-магическим из всех МК, составленных когда-либо каким-либо магом.
1.4. Магический квадрат Ян Хуэя (Китай). В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37):
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
