Снежинка Коха и ковер Серпинского

 

Если повторять какую либо операцию с геометрическим объектом множество раз, при этом, уменьшая масштаб, то в результате получится самоподобная структура. Рассмотрим два классических примера.

Кривая Коха

Возьмем отрезок прямой длиной l₀. На средней трети построим равносторонний треугольник. Длина получившейся линии равна 4/3 от длины отрезка l₀. Второй раз повторим построение равносторонних треугольников на средних третях сторон. Теперь длина линии станет (4/3)² от длины первоначального отрезка. Повторяя эту операцию n раз, получаем кривую длиной l₀ (4/3)ⁿ– это кривая Коха (приложение3 а).
Если построение повторить бесконечное число раз, то получим кривую бесконечной длины. Эта кривая самоподобна – при большем уменьшении масштаба ее вид остается неизменным. Конечно, нужно понимать, что в реальной жизни операции во всё меньшем масштабе, нельзя повторять бесконечное число раз. [13]

 

Снежинка Коха

Применяя ту же операцию n-ное количество раз к равностороннему треугольнику, получим снежинку Коха. Ее построение показано на рисунке (см приложение 3б): на средних третях каждой стороны строятся равносторонние треугольники. Длина периметра снежинки Коха равна 3 l₀ (4/3)ⁿ. При n стремящемся к бесконечности, периметр становится бесконечным. То есть кривая бесконечной длины ограничивает конечную площадь! [13]

Ковер Серпинского

Если соединить середины сторон треугольника, полученный меньший треугольник удалить и повторить эту операцию неограниченное число раз, то в результате получается еще одна самоподобная фигура - ковер Серпинского (приложние 3в). Любой меньший треугольник полностью воспроизводит структуру любого большего треугольник, то есть при изменении масштаба подобие сохраняется.

У этой фигуры есть удивительное свойство. Если подсчитать суммарную площадь всех исключенных при построении треугольников, то она, оказывается, точно равна площади исходного треугольника. А это значит, площадь ковра Серпинского равна нулю!

Таким образом, оказывается, что эти самоподобные объекты обладают какими то иными свойствами: кривые, ограничивающие конечную площадь – бесконечны, а площадь реально существующих фигур оказывается равной нулю. Для описания таких объектов, существует понятие фрактальной размерности. [13]

От снежинок к кристаллам

 

Всматриваешься в снежинки – и изумляешься разнообразию их форм. А ведь форма этих мельчайших ледяных кристаллов во многом зависит от ветра. Так, резкий ветер "разрывает" снежинки на сотни маленьких иголок, а сильные морозы (около 40 градусов) и вовсе превращают их в "алмазную пыль".

Кристаллография в настоящее время активно развивается в связи с потребностями электроники и физики твердого тела — в частности, свойства полупроводников, использующихся в наших повседневных электронных приборах, в значительной мере зависят от характеристик используемых в них кристаллов. [3]

Кристаллы льда и снега

Кристаллы замёрзшей воды, т.е. лёд и снег известны всем. Эти кристаллы почти полгода (а в полярных областях и круглый год) покрывают необозримые пространства Земли, лежат на вершинах гор и сползают с них ледниками, плавают айсбергами в океанах.

Ледяной покров реки, массив ледника или айсберга – это, конечно, не один большой кристалл. Плотная масса льда обычно поликристаллическая, т.е. состоит из множества отдельных кристаллов. Их не всегда различишь потому, что они мелки и все срослись вместе.

Каждый кристаллик льда, каждая снежинка хрупка и мала. Часто говорят, что снег падает, как пух. Но даже это сравнение, сказать, слишком «тяжелое»: снежинка гораздо легче, чем пушинка. Десяток тысяч снежинок составляют вес одной копейки.[3]