2020-01-14
312
При оценке того или иного инвестиционного решения сопоставляются затраты и результаты, осуществляемые в разные моменты времени. Перед сложением и сопоставлением потоков денежных средств эти потоки приняты в сопоставляемый вид, или “проводить” к определенному моменту времени. Таким моментом может быть дата принятия решения об инвестировании, дата регистрации предприятия, дата начала строительства.*
Процесс роста основной суммы вклада за счет накопления процентов называется начислениемсложного процента. Сумма полученная в результате накопления процента, называется наращенной или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет. При этом, первоначальная сумма вклада называется текущей, настоящей, сегодняшней стоимостью.
Если текущую стоимость обозначить через PV (prezent value), будущую стоимость через FV (future value), ставку процента через r, число периодов через f, получим
FV = PV (1 + r)t (4.1)
|
|
|
Коэффициент (1 + r)t называют коэффициентом начисления сложных процентов.
Для инвестиционных расчетов актуальна и обратная задача: по заданной сумме, которую предлагается уплатить (или получить) через t периодов времени, определить ее стоимость с позиции сегодняшнего дня “настоящую” или текущую стоимость. Это действие (сведение будущих денежных сумм к настоящему моменту времени) называется дисконтированием (disconting).
PV = FV (1 + r)-t (4.2)
Множитель (1 + r)-t называется коэффициентом дисконтирования (коэффициентом текущей стоимости). Величину С0, получаемую дисконтированием величины Сt называют текущей, современной (приведенной) величиной.
Пример 4.3. В какую сумму превратиться долг, равный 10 млн. р. через пять лет при росте по ставке сложного процента равной 5,5 % в год?
Решение: FV = PV(1 + r)t
или FV = 10 (1 + 0,055)5 = 13,069 млн. р.
Пример 4.4. Какую сумму получил должник если через пять лет, после подписания контракта уплаты долг со ставкой сложного процента равной, 5,5 % в год, в сумме 13,0696 млн. р.
Решение: PV = FV (1 + r)-t
или PV = 13,0696 (1 + 0,055)-5 = 13,0696 * 0,765134 = 9,999 = 10,0 млн. р.
Схематически можно представить на рис. 2 начисления сложных процентов, на рис. 3 дисконтирование.
Неизвестная
Известная будущая Неизвестная будущая
|
|
|
текущая стоимость Известная текущая
стоимость стоимость
 |  |
PV FV PV FV
0 1 2 3... t Время 0 1 2 3 ... t Время
Рис. 4.2. Начисления сложных Рис. 4.3. Дисконтирование
процентов
Пример 4.5. Предположим, что по проекту предполагается следующий поток денежных средств (CF). Исчислим текущую стоимость всего потока, если процентная ставка r = 0,10. Расчет покажем в табл. 4.2
Таблица 4.2.
| Годы | Денежный | Коэффициент дисконти- | Дисконтированный денежный |
| поток, CF | рования, l, при r = 0,10 | поток, Cft = CF (1 + r)-t | |
| 1 | CF1 = 500 | l1 = 0,909 | CF1 l1 = 454,5 |
| 2 | CF2 = 500 | l2 = 0,826 | CF1 l2 = 413,0 |
| 3 | CF3 = 500 | l3 = 0,751 | CF1 l3 = 375,5 |
| Продолжение табл. 4.2. | |||
| 4 | CF4 = 500 | l4 = 0,683 | CF1 l4 = 341,5 |
| 5 | CF1 = 500 | l5 = 0,621 | CF1 l5 = 310,5 |
| å dt = 3,790 å Сftdt = 1895,0 | |||
Суммарная текущая стоимость всего потока за период Т составила
5
Pvт = å Сft l1 = 1875.
t=1
Если величина ежегодных (получаемых через равные
промежутки времени) потоков одинаковы, следует записать
5
Pvt = А (l1 + l2 + l3 + l4 + l5) = А å lt.
t=1
Равные денежные суммы, получаемые или выплачиваемые через одинаковые промежутки времени, называют аннуитетом (annuity). Обозначим аннуитет А, прием неизменной по всему расчетному периоду Т, ставку сравнения r, получим выражения:
t __1__
PVт = A å (1 + r)t , или (4.4)
t=1
(1 + r)t - 1
PVт = А r (1 + r)t = ААt, или (4.5)
Коэффициент [(1 + r)t - 1] / r (1 + r)t называют коэффициентом аннуитета, фактором аннуитета фактором Инвуда, коэффициентом сумм дисконтирования (Аt).
Превращения платежного ряда в “разовый платеж сейчас” графически покажем на рис. 4.
д.е. Неизвестная
текущая стоимость
 |  |  | |||||||||||||
 | |||||||||||||||
 | | | | ||||||||||||
PV
 |
0 1 2 3 4
Рис. 4.4. Текущая стоимость обычного аннуитета
Пример 4.5. Для ежегодных выплат в течение 5 лет по 500 д.е. достаточно положить в банк под процентную ставку в 10 % годовых сумму 1895 д. е. Проверим:
5
PVт = å CFt (1 + r)-t = А Аt
t=1
PV = 500*3,7908 = 1895 д. е.
Представим сумму коэффициентов дисконтирования в виде следующей схемы:
А1 = l1
А1 = l1 +l2
А1 = l1 +l2 + l3
...
Аn = l1 +l2 +... + ln
и используем такой подход для ответа на вопрос примера 4.6.
Пример 4.6. Плата за обучение в вузе распределена по периодам: конец 1-го года 1000 д. е., конец 2-го года - 1000 д.е.; конец 3-го года 1200 д. е.; конец 4-го года - 1200 д. е.; конец 5-го года - 1200 д. е. Найти необходимый размер первоначального вклада, достаточного для указанных платежей, если банковская ставка - 10 % годовых?
Платежи меняются по годам, поэтому используя специальные таблицы ( ) коэффициентов аннуитета факторов аннуитета (коэффициентов
|
|
|
r=0,10
приведения годовой ренты) за первые два года при r = 0,1; А2 = 1,735537.
r=0,1
Коэффициент аннуитета за первые пять лет равен А5 = 3,79079, следователь-
r=0.1 r=0,1
но за последние три года коэффициент аннуитета составит А5 - А3 = 3,79079 - 1,735537 = 2,055253. Текущая приведенная стоимость складывается из двух составляющих: 1000* 1,735537 (за первые два года) и 1200*2,055253 (за последние три года), если 1735,5 + 2466,3 = 4201,8 д. е. Если в начале первого года поместить в банк сумму в 4201,8 д. е. под 10 % годовых, ее будет достаточно для оплаты обучения.
Пример 4.7. Для финансирования нового оборудования предполагается взять кредит в сумме 110 млн. р. под 100 % годовых с условием выплат равными долями в течение четырех лет.
Поставлены задача определить обязательный периодический платеж по кредиту, включающий процент и выплату части основной суммы и позволяющий погасить кредит в течение установленного срока. Поскольку процесс погашения (ликвидации) долга с течением времени называют амортизацией. Математически взнос на амортизацию кредита определяется как отношение одного платежа к основной сумме кредита. То взнос на амортизацию единицы показывает, каким будет обязательный периодический платеж по кредиту, включающий процент и выплату части основной суммы и позволяющий погасить процент в течение установленного срока. Из формулы /4.5/ получим
1_ r(1 + r)t (4/7)
Аt = PV * Аt = PV* (1 + r)-1
Графическая интерпретация взноса на амортизацию денежной единицы, превращения “разового платежа сейчас” в платежный ряд - на рис. 5.
|
|
|
Первоначальная основная
сумма
 |
Доход на инвестиции
 | |||||
 |  | ||||
Возврат инвестицион-
суммы
0 1 2 3 ... t t
Рис. 4.5. Взнос на амортизацию денежной единицы
Для примера 4.7. известна текущая стоимость (величина основного долга) равна 110 млн. р., вычислим величину выплат в счет погашения долга с учетом процентов:
1(1 + 1)4 _16__
А = 110* (1 + 1)4-1 = 110* 16 - 1 = 117,333 млн. р.
Если процентная ставка уменьшится до 50 % годовых, то ежегодный платеж составит
0,5(1 + 0,5)4
А = 110* (1 + 0,5)4-1 = 110* 0,62308 = 68,538 млн. р.
Пример 4.8. Предприниматель должен за четыре года скопить 4641 доллар на покупку станка. Какие суммы ему необходимо откладывать каждый год под 10 % годовых, чтобы через четыре года купить станок стоимостью 4641 доллар?
Распределение разового платежа, который должен быть выплачен через t лет, с учетом процента, на период t лет, произведем используя фактор фонда возмещения (рис. 4.6).
Фактор фонда возмещения показывает сумму, которую нужно депонировать в конце каждого периода (периодический депозит), чтобы через заданное число периодов остаток на счете составил 1 д. е. При этом учитывается процент, получаемый по депозитам. Поэтому получим:
___ r ____
А = FV * (1 + r)t- 1 (4.8)
Коэффициент r:[ (1 + r)t- 1] называют фактором фонда возмещения или коэффициентом распределения остаточной стоимости.
 |
Доход на депозит Рассчитанная будущая
стоимость аннуитета
Процент
А
А
А
А А А А
1 2 3 4 Годы
Рис.4.6. Фактор фонда возмещения (распределение
остаточной стоимости)
Решение примера 4.8.
___ 0,10___
Ежегодный платеж составит 4641* (1 + 0,10)4- 1 = 4641*0,21547 = 100
Фактор фонда возмещения равен части от взноса на амортизацию 1 д. е., который в свою очередь состоит из слогаемых: первое - ставка процента, второе - фактор фонда возмещения, третье - возврат инвестиционной суммы (фактор фонда возмещения).
Доход
Доход на депозит Рассчитанная будущая
стоимость аннуитета
Процент
Возврат депонированной
суммы А
А
А
А А А А
Рис. 4.7. Накопление единицы за период
Для превращения платежного ряда в течение t лет в разовый платеж через t лет используют фактор накопления единицы за период (коэффициент остаточной, конечной стоимости). Он показывает, какой по истечении установленного срока будет стоимость серии равных взносов, депонированных в конце каждого из периодических интервалов. Будущая стоимость составит
(1 + r)t- 1
FVt = A r (4.9)
Графически интерпритация (рис. 7) показывает, что конечная стоимость рассчитывается как сумма всех дипозитов и депонированного процента.
