Арифметические действия

Если наши геометрические курсы в значительной степени восходят к греческой математике, то наша арифметика имеет, несомненно, индийское происхождение. Именно от индийской позиционной нумерации происходит наша нумерация, индийцы же первые разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации.

К основным арифметическим действиям индийцы относили сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней.

Вычисления индийцы производили на счетной доске, покрытой песком или пылью, а то и прямо на земле. Поэтому арифметические вычисления иногда назывались «дхули-карма» — работа с пылью. Числа записывались заостренной палочкой. Чтобы хорошо различать цифры, их писали довольно крупно, поэтому промежуточные выкладки стирались. Это наложило отпечаток на индийские способы вычисления.

Сложение и вычитание производились как справа налево, т. е. от низших разрядов к высшим, так и слева направо, от высших разрядов к низшим.

Для умножения существовало около десятка способов. При основном способе умножения операцию можно было начинать как с низшего, так и с высшего разряда. В процессе умножения цифры множимого постепенно стирались, а на их месте записывались цифры произведения. Например, чтобы умножить 135 на 12 сначала писали

                                                                                       12

                                                                                  135

Перемножая 5*12 и стирая 5, получали

                                                                                       12

                                                                                   1360

и, сдвигая множитель

                                                                                       12

                                                                                     1360.

Перемножая 3*2 и добавляя 6 к 6, стирали 6 и записывали на ее месте 2, а единицу держали в уме или записывали в стороне. Эту единицу прибавляли к произведению 3*1 и сумму 4 писали внизу вместо стертой тройки

                                                                                       12

                                                                                       1460.

Далее перемножали 1*2 и прибавляли 2 к 4 внизу, т. е. стирали 4 и на ее месте писали 6. И, наконец, 1*1 = 1, поэтому 1 внизу не стирали. В заключение стирали множитель, и на доске оставалось произведение 1620.

Индийцы применяли и более удобные приемы умножения. Например, расчерчивали счетную доску на сетку прямоугольников, каждый из которых разделен пополам диагональю, по сторонам сетки записывали сомножители, а промежуточные произведения писали в треугольниках и складывали их по диагоналям.

При делении делитель подписывался под делимым так, чтобы первые их цифры находились одна под другой, и из цифр делимого, написанных над делителем, вычиталось максимальное кратное делителя, не превосходящее числа, образованного этими цифрами. Затем делитель передвигался на один разряд вправо и таким же образом вычитался из цифр остатка.

Существует несколько способов возведения в квадрат и куб. Шридхара в своей «Патиганите» («Искусство вычисления на доске») излагает методы, которые в наших обозначениях можно выразить формулами

Первое описание процесса извлечения квадратного и кубического корней встречается в Индии еще в V—VI вв. у Ариабхаты.

Индийцы называли корень «пада» — основание, сторона и «мула» — основание; оба эти слова, по-видимому, перевод греческих слов, применявшихся для обозначения квадратного корня. Так как слово «мула» имеет также значение «корень растения», арабские переводчики индийских сиддхант перевели в VIII в. этот термин арабским словом «джизр», также обозначающим корень растения. Поэтому латинские переводчики в XII в. перевели арабское название корня латинским словом radix, откуда и происходят наши термины «корень» и «радикал».

Извлечение квадратного корня в Индии, как и в Китае, основано на разложении квадрата двучлена, но при этом (как и при извлечении кубического корня) не применялся метод Горнера.

Так как при выполнении арифметических действий приходилось стирать промежуточные выкладки, проверить непосредственно, верны ли окончательные результаты, было невозможно. Для проверки умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня индийцы рекомендовали не обратные операции, а так называемую проверку с помощью девятки, основанную на том, что остаток при делении целого числа на 9 равен остатку при делении на 9 суммы цифр этого числа. Первое описание этого правила применительно к умножению, делению с остатком и извлечению квадратного и кубического корней встречается у Ариабхаты II (X в.). Если мы назовем пробой остаток от деления на 9 суммы цифр данного числа, то, например, при умножении двух чисел проба произведения должна быть равна пробе произведения проб множителей. Равенство проб является только необходимым, но не достаточным условием правильности действия, чего индийцы не отмечают. Проверка с помощью девятки применялась математиками стран ислама, познакомившимися с ней по индийским источникам, а от арабов это правило попало к европейцам. Недостаточность этого правила отмечалась Н. Шюке и Л. Пачоли только в конце XV в.

Дроби

В Индии дроби известны очень давно. Еще в середине II тысячелетия до н. э. упоминаются такие дроби ардха (1/2), пада (1/4), три-пада (3/4) и кала (1/16).

Индийцы записывали дроби так, как это делается в настоящее время: числитель над знаменателем, только без дробной черты. Друг от друга дроби отделялись вертикальными и горизонтальными линиями. Так, дробь  записывалась ,где (как и в дальнейшем) буквы а, b стоят вместо конкретных цифр. Именно об этой записи дробей мы говорили выше, когда упоминали о влиянии на индийскую математику александрийских астрономов первых веков нашей эры и ученых Китая, так как эта запись встречалась и в позднегреческих папирусах и в китайских книгах.

Сложение обозначалось записью дробей рядом. Для обозначения вычитания употреблялись точка или зпак + справа, и, например, выражение

изображали в виде

 

В смешанной дроби  целая часть помещалась над дробью:

Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1. Поэтому смешанную дробь   можно было представить в виде

При умножении дроби записывали рядом:

а при делении — одну под другой:

 

Как видно, сложение и умножение дробей изображались одинаково. То же относится к делению целого числа а на дробь , которое записывали   так же, как смешанную дробь. О смысле подобного рода записей можно было судить по контексту. Правила действий над дробями почти не отличались от современных. Так, Шридхара приводит правила: «[После приведения дробой] к общему знаменателю сложи числители», «Произведение дробей равно произведению числителей, деленному на произведение знаменателей», «Квадратный корень [дроби] равен квадратному корню числителя, деленному на квадратный корень знаменателя».

Для приведения к общему знаменателю индийские ученые сначала составляли произведение знаменателей всех сомножителей, а начиная с IX в. пользовались уже их наименьшим кратным. Так поступал, папример, Шридхара.

Задачи на пропорции

В индийских сочинениях встречаются многочисленные задачи па простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, правило товарищества, правило смешения, простые и сложные проценты, прогрессии. Одни задачи имели непосредственное практическое значение, другие составлялись для упражнения и развлечения.

При решении задач, которые выражаются уравнением ах = с, большое место занимало уже знакомое правило одного ложного положения (правило состояло в замене неизвестного произвольно взятым числом и в следующем за тем определении истинной величины неизвестного на основании пропорциональности, существующей между ним, его произвольным значением и соответствующими результатами указываемых условиями задачи вычислений.).

В анонимной рукописи VI—VIII вв., найденной близ селения Бахшали в Северо-Западной Индии (так называемая «Бахшалийская рукопись»), это правило применяется также к задачам, приводящимся к уравнению ax+b=c. Решение имеет вид

где c₁=ax₁+b.

Еще более широкое применение имело тройное правило («трай-рашика» — буквально «три места»), состоящее в нахождении числа х, составляющего с тремя данными числами а, b, с пропорцию

Это правило было известно еще египтянам и грекам, но индийцы выделили его как специальный арифметический прием и разработали схемы, позволяющие применять его к задачам, содержащим несколько величин, связанных пропорциями. На тройном правиле были основаны индийские правила 5, 7, 9 и т. д. величин (панча-рашика, сапта-рашика, нава-рашика и т. д.). Например, в правиле 5 величин требуется найти величину х по пропорциям

и ответ дается в виде

Индийцы пользовались также «обратным тройным правилом» (вьяста трай-рашика), когда в задаче вместо прямой пропорциональности указывается обратная. Эти правила также были заимствованы у индийцев учеными стран ислама, а через них — европейцами. В странах ислама правила 5,7, и т.д. величин были обобщены на любое нечетное число. В Европе эти правила, получившие название цепных правил, находились в центре внимания авторов арифметических руководств.

Алгебра

Как и в Вавилоне и Китае, в Индии высокого расцвета достигли алгебраические вычисления. Алгебру, вместе с решением целочисленных неопределенных уравнений, индийцы называли «биджаганита» — «искусство вычисления с элементами» или «авьяктаганита» — «искусство вычисления с неизвестными».

Выдающимся достижением индийских математиков было создание развитой алгебраической символики. Эта символика была даже богаче, чем у Диофанта. Впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин, свободного члена уравнения, степеней. Большинство символов представляет собой первые слоги соответствующих санскритских терминов.

Неизвестную величину индийцы называли «йават-тават» (столько, сколько), для обозначения неизвестной служила буква, означающая слог «йа». Если неизвестных было несколько, то их называли словами, выражающими различные цвета: калака (черный), нилака (голубой), питака (желтый), панду (белый), лохита (красный), а обозначали первыми слогами соответствующих слов: ка, ни, пи, па, ло. Свободный член в уравнениях сопровождался первым слогом слова «руна» (целый). Иногда неизвестная обозначалась знаком нуля, так как первоначально в таблицах, например, пропорциональных величин, для нее оставлялась пустая клетка.

Знаки, представляющие собой обозначения первых слогов слов, применялись для основных действий. Сложение обозначалось знаком «йу» («йта» — сложенный), умножение — «гу» («гунита» — умноженный), деление — «бха» («бхага» — деленный).

Вычитание обозначалось точкой над вычитаемым или знаком + справа от него (например, вычитание 5 обозначалось 5 или 5+; выше это обозначение встречалось нам при вычитании дробей). Знаки сложения и умножения часто опускались. В качестве примеров

   для

  для

для

Обозначения степеней представляли собой сочетания слогов «ва» («варга» — квадрат), «гха» («гхана» — куб) и слова «гхата» — произведение, т. е. степени неизвестных обозначались:

Х² = ва,

Х³ = гха,

Х⁴ = ва ва,

Х⁵ = ва гха гхата,

Х⁶ = ва гха,

Х⁷= ва ва гха гхата,

Х⁸ = ва ва ва,

Х⁹ = гха гха.

Мы видим, что для степеней, показатели которых имеют вид 2^α, З^β, обозначения состоят из слога «ва», повторенного α раз, и слога «гха», повторенного β раз. Таким образом, степени этого вида образуются по мультипликативному принципу. Напротив, обозначения степеней, показатель которых не представляется в таком виде, образуются по аддитивному принципу, причем слово «гхата» (произведение) означает, что степень такого типа представляет собой произведение степеней, суммой показателей которых является показатель этой степени (например, х⁵ = х²⁺³ = x²x³). Следовательно, индийская символика принципиально отличается от символики Диофанта, где названия степеней были основаны на чисто аддитивном принципе.

Квадратный корень обозначался слогом «му» — от слова «мула» В качестве примеров приведем записи

означает

Знака равенства не было: обе части уравнения писали в 2 строки так, чтобы одинаковые степени стояли друг под другом. Если неизвестная отсутствовала, то записывали ее знак с коэффициентом нуль. Уравнение

 записывается в виде

йа ва 0 йа 10 ру 8

йа ва 1 йа 0 ру 1;

уравнение

записывается в виде

йа гха 8 йа ва 4 ка ва йа 10

йа гха 4 йа ва 0 ка ва йа 12.

Символы применялись и в учении о прогрессиях. Первый член обозначается «а» от «ади»—(первый член), разность арифметической прогрессии —«ча» или «у» от «чайа» или «уттара» (разность прогрессии), число членов—«па» или «га» от «пада» или «гачха» (число членов), сумма прогрессии—«сан» или «ган» от «санкалита» или «ганита» (сумма). Например, в анонимном комментарии к «Патиганите» приводится запись

Т.е.

Итак, индийские ученые сделали большой шаг в создании символической алгебры, хотя их обозначения были громоздки, а сами знаки, т. е. санскритские буквы, имели сложное начертание.