Алгоритмы фильтрациии экстраполяции параметров траекторий целей по данным радиолокационных измерений

Представление фильтруемого процесса

Модель траектории цели. При решении задач фильтрации принципиальное значение имеет способ представления процесса изменения фильтруемых параметров цели во времени. В нашем случае это соответствует выбору модели траектории цели. В задачах вторичной обработки радиолокационной информации с учетом дискретности процесса измерения координат цели и возмущений модель траектории можно задать системой линейных разностных уравнений, которая в векторной форме записывается в виде

При полиномиальном представлении независимых координат цели прогнозирование параметров невозмущенной траектории, например по координате дальности r(t), производится по формулам:

При записи выражений (4.2) в векторно-матричномвиде

Выражения для невозмущенных параметров траектории по другим независимым координатам записывается аналогично. Во втором слагаемом уравнения модели (4.1) в первую очередь должны быть учтены возмущения, обусловленные неоднородностью среды, в которой движется цель; атмосферными явлениями, а также неточностью и инерционностью системы управления и стабилизации параметров цели в полете. Назовем их шумом управления. Обычно шум управления представляется как дискретный

белый шум с математическим ожиданием, равным нулю, и корреляционной матрицей

где — дисперсия шума управления; , если и 0, если (символ Кронекера).

Кроме шумов управления в модели траектории необходимо учитывать специфические возмущения, обусловленные непредвиденными для наблюдателя изменениями параметров траектории, которые обусловлены маневром цели. Эти возмущения назовем шумом маневрирования. В общем случае шум маневрирования не является ни белым, ни гауссовским. Один из возможных примеров представления плотности распределения вероятности ускорения (интенсивности маневра) самолета по одной из координат приведен на рис. 4.1, где Ро — вероятность отсутствия маневра, Pi — вероятность маневра с максимальным ускорением , а вероятность любого промежуточного значения интенсивности маневра

Равновероятность промежуточных значений интенсивности маневра можно обосновать, например, тем, что проекция интенсивности маневра самолета по курсу (наиболее частый случай маневра) на произвольное направление принимает любое знамение в пределах , а при наличии множества маневров во времени и пространстве можно допустить, что все эти значения равновероятны.

Поскольку выполнение маневра обычно требует значительного времени (во всяком случае большего, чем интервал времени между двумя измерениями координат цели), то его интенсивность в некоторый момент наблюдения коррелирована с интенсивностью в предыдущие (последующие) моменты. Поэтому для статистической характеристики шума маневрирования необходимо знать его автокорреляционную функцию. Обычно автокорреляционную функцию интенсивности маневра представляют в виде экспоненциальной функции

Последующие значения интенсивности маневра могут быть выражены через предыдущие:

где — белый шум с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице?

В практике проектирования и исследования систем обработки радиолокационной информации условно считают, что множество целей можно разделить на неманеврирующие и маневрирующие. Цель считается неманеврирующей, если она движется по прямой с постоянной скоростью (с точностью до влияния интенсивности шума управления), во всех других случаях — маневрирующей. Например, для

аэродинамических объектов в качестве основной принимается модель неманеврирующей цели, каждая из независимых координат которой описывается полиномом первой степени. Однако такая классификация имеет смысл только если в процессе обработки радиолокационной информации фильтруемые параметры представлены в декартовой системе координат. Если же фильтруемые параметры представлены в полярной (сферической) системе координат, то они изменяются нелинейно и при прямолинейном

и равномерном движении ноли. В этом случае для представления независимых координат должны быть использованы по крайней мере полиномы второй степени. Модель процесса измерения. При решении задач фильтрации кроме модели траектории необходимо задать связи между m-мерным вектором измеряемых координат Yn и s-мерным вектором оцениваемых параметров в момент

n-го измерения. Эта связь обычно задается линейным алгебраическим соотношением

где Н„ — известная (mXs)-мерная матрица, устанавливающая связь между наблюдаемыми координатами и оцениваемыми параметрами; ΔΥn — погрешность измерения координат. В рассматриваемом случае наблюдаемыми являются текущие координаты целей в сферической системе координат (дальность , азимут , угол места ) или некоторые специфические для РЛС координаты —радиолокационные (например, дальность и косинусы углов между осью антенной решетки и направлением на цель). В не-

которых РЛС в качестве измеряемой координаты может быть также радиальная скорость .

Матрица имеет простейший вид (состоит из нулей и единиц), если по наблюдаемым сферическим координатам оцениваются параметры траектории в той же системе координат. Например, если измеряются полярные координаты цели ,а фильтруются параметры (линейное приближение), матрица имеет вид

Если же по измеренным полярным координатам фильтруются параметры траектории в декартовой системе координат , то вычисление элементов матрицы производится дифференцированием формул пересчета координат из полярной системы в декартову:

Аналогично определяются элементы матрицы для других сочетаний измеряемых координат и фильтруемых параметров. Погрешности измерения координат, представленные в уравнении (4.7J вектором , с достаточно общих позиций можно рассматривать как нормальную случайную последовательность, относительно которой могут быть приняты следующие исходные предпосылки:

1. Погрешности измерения независимых наблюдаемых координат не зависят друг от друга. Это позволяет решать задачи фильтрации по каждой наблюдаемой координате раздельно.

2. В общем случае совокупность погрешностей измерения каждой координаты в момент времени представляет собой n-мерную систему коррелированных нормально распределенных случайных величин с корреляционной матрицей размера

Симметричные относительно диагонали элементы корреляционной матрицы равны между собой, т. е. Это значит, что при транспортировании она не изменяется . Если погрешности измерения не коррелированы, все элементы корреляционной матрицы, кроме диагональных, равны нулю. Такая матрица называется диагональной.

В заключение отметим, что модель траектории цели вместе с моделью процесса измерения образуют модель объединенной динамической системы, представляющей процесс, подлежащий фильтрации. Схема объединенной динамической модели приведена на рис. 4.2 (двойныестрелки обозначают многомерные (векторные) связи) [2].

Алгоритмы линейной фильтрации

и экстраполяции при фиксированной выборке измерений

Алгоритмы линейной фильтрации и экстраполяции параметров траектории в данном параграфе получены при следующих исходных предпосылках.

1. Модель невозмущеннон траектории цели по каждой из независимых координат задается в виде полино-

миальной функции

степень s которой определяется принятой гипотезой движения цели. В выражении (4.10) коэффициенты полинома имеют смысл координаты, скорости изменения координаты, ускорения и т. д., которые являются параметрами траектории цели. Совокупность параметров , записанная в виде столбца, образует мерный вектор параметров траектории . Предполагается, что-

за время измерения этот вектор остается неизменным.

2. Результаты измерения координаты в дискретные моменты времени линейно связаны с вектором, параметров уравнением

3. Условная плотность вероятности погрешности единичного измерения

4. Совокупность погрешностей измерения координаты в общем случае представляет собой Ν-мерную систему коррелированных нормально распределенных случайных величин и характеризуется -мерной корреляционной матрицей (см. (4.8)). При решении задач фильтрации эта матрица должна быть известной. Условная плотность вероятности N-мерной выборки коррелированных нормально распределенных случайных величин

5. Априорная информация о фильтруемых параметрах отсутствует. Это соответствует случаю оценки параметров на начальном участке траектории, т. е. при ее завязке по совокупности специальным образом отобранных отметок. Полученные таким образом оценки используются в дальнейшем в качестве априорных данных на последующих этапах фильтрации. При отсутствии априорной информации задачи оптимальной фильтрации решаются по критерию максимального правдоподобия. Таким образом, в данном параграфе рассматриваются алгоритмы фильтрации и экстраполяции параметров полиномиальной траектории по фиксированной выборке измерений, оптимальные по критерию максимального правдоподобия. Алгоритм оптимальной оценки параметров полиномиальной траектории по критерию максимального правдоподобия (общий случай). Функция правдоподобия для оцениваемого векторного параметра по результатам последовательности измерений аналогично условной плот-

ности вероятности N-мерной выборки коррелированных нормально распределенных случайных величин и в векторно-матричном представлении имеет вид

В дальнейшем удобнее перейти к натуральному логарифму функции правдоподобия

Теперь в соответствии с методом максимального правдоподобия для нахождения оценок параметров траектории необходимо продифференцировать выражение (4.15) по составляющим вектора оцениваемых параметров в каждой точке измерения и приравнять нулю при . В результате получаем векторное уравнение правдоподобия [21]