Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Рассмотрим последовательность (а₁,а₂,а₃) и (b₁, b₂,b₃), и запишем в виде таблицы

Если последовательность (а₁,а₂,а₃) (b₁, b₂,b₃) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а₁,а₂,а₃находиться над наибольшим из чисел b₁,b₂,b₃, а второе по величине а₁,а₂,а₃находиться над вторым по величине из чисел b₁,b₂,b₃, и где наименьшее из чисел а₁,а₂,а₃находиться над наименьшим из чисел b₁,b₂,b₃ то последовательность одномонотонная.

Если =a₁b₁, и =а₁b₁+а₂b₂, то =а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃

Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.

Лемма. Если (а₁, а₂, …а_n) и (b₁, b₂,…b_n) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.

Доказательство.

Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.

=а₁b₁+а₂b₂.

Заметим, что а₁b₁+а₂b₂ = а₂b₂+ а₁b₁ по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть

Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.

=а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃.

Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть

а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃= (a₃b₃+а₂b₂)+ а₁b₁ =

Лемма доказана

Теорема 2. Пусть (а₁а₂ а₃), (b₁ b₂b₃) – одномонотонные последовательности и ()( здесь и в дальнейшем ) любая перестановка чисел b₁ b₂b₃. Тогда

Доказательство.

Действительно, если последовательность отличается от (b₁ b₂b₃) то найдется пара чисел k, l (1 k<l 3) такая, что последовательности (a_k, a_l) и (b_k, b_l) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть