Глава II. Свойства метризуемых пространств

Свойство 1. Метризуемое  пространство хаусдорфово.

Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что .

Предположим, что , тогда существует , т.е.  и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .

 

Следствие. Метризуемое  пространство является  - пространством.

 

Определение. Расстоянием от точки  до множества  в метрическом пространстве называется .

Утверждение 2. Пусть множество  фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке  расстояние , непрерывна на пространстве .

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция  называется непрерывной в точке , если .

Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .

Для произвольного  возьмем . Тогда из неравенства  следует . Непрерывность  доказана.

 

Лемма. – замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого  расстояние от  до множества  положительно.

Доказательство.

Множество  замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка  принадлежит открытому множеству , то существует такое , что . Так как , то  для некоторого . Поэтому   для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.

 

Свойство 2. Метризуемое  пространство нормально.

Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является

-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества  и  имеют непересекающиеся окрестности.

Так как  и множество  замкнуто по условию, то для любого  по лемме .

Обозначим  и  для произвольных  и .

Множества и  открыты как объединения открытых шаров в  и содержат соответственно множества  и .

Следовательно,  - окрестность множества ,  - окрестность множества .

Докажем, что .

Предположим, что , то есть . Тогда из условия  следует, что   для некоторого . Отсюда .

Аналогично получаем  для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .

Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.

Следовательно . Таким образом,  является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.

 

Свойство 3. В метризуемом пространстве  выполняется первая аксиома счетности.

Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то  содержится в  вместе с некоторым открытым шаром, то есть  для некоторых  и . По утверждению 1 найдется такое , что .

Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары ,  образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.

 

Определение. Множеством типа   или просто  - множеством пространства  называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.

 

Определение. Множеством типа  или просто  - множеством пространства  называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.

Очевидно, что множества типа  и  являются взаимно дополнительными друг для друга.

 

Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа , называется совершенно нормальным.

 

Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .

Свойство   4. Метризуемое пространство совершенно  нормально.

Доказательство. Пусть  - непустое замкнутое множество в . Тогда  для непрерывной функции  (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества  открыты в  как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .

Пусть , тогда . Так как  для любого , то  для любого . Отсюда .

Обратно. Пусть , тогда  для любого . Отсюда  для любого , поэтому  для любого , тогда , значит . Таким образом множество  является множеством типа .

 

Определение. Множество   всюду плотно в , если любое непустое открытое в  множество содержит точки из .

 

Определение. Топологическое пространство  называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.

 

Определение. Семейство γ открытых в  множеств образуют покрытие пространства , если  содержится в объединении множеств этого семейства.

 

Определение. Топологическое пространство  называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.

 

Свойство 5. Для метризуемого пространства  следующие условия эквивалентны:

1)  сепарабельно,

2)  имеет счетную базу,

3)  финально компактно.

Доказательство.

Пусть - счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей  счетно. Докажем, что  - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в  множество, . Тогда  для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого   и точку , для которой .

Докажем, что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного  и открытого множества  нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии.

 Пусть  - счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , - открыты для любого  ( - индексное множество). Для любого  существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база  счетна, то  покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, - финально компактно.

 Для каждой точки  рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности  из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек  счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда  для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в  содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.

 

Определение. Диаметром непустого множества  в метрическом пространстве  называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества  и обозначается .

.

Если , то множество  называют неограниченным.

 

Определение. Метрика  метрического пространства  называется ограниченной, если .

 

Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

Доказательство. Пусть метрика  порождает топологию топологического пространства . Положим  для любых .

Докажем следующее:

1. -метрика на ;

2. метрики  и  эквивалентны;

3. .

1. Проверим выполнимость аксиом.

1) ;

2) ;

: Докажем, что .

Известно, что .

· Если  и , то  и , тогда . Так как , то .

· Если  или , то , а , тогда .

2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .

Пусть - открытое множество в , докажем, что множество  открыто в . Для любого  существует  такое, что . Можно считать, что . Тогда  является окрестностью в  того же радиуса . Следовательно,  открыто в топологии .

В обратную сторону доказательство проводится аналогично.

Из всего выше сказанного следует, что метрики  и  эквивалентны.

3. Из формулы  следует, что  для любых . Отсюда .

Определение.  - топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств  называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где  открыто в  для любого  и  для всех индексов кроме конечного их числа.

 

Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

 Доказательство. Пусть  - метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве  существует ограниченная метрика  соответственно.

Рассмотрим .                                                           

Покажем:

1.  является метрикой на  и .

2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств .

1. Проверим выполнимость аксиом метрики.

1) (так как  - метрика по условию).

2) , .

Так как ( -метрика по условию), то , тогда .

3) Докажем, что .

, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:

, тогда .

Теперь докажем, что .

, где  геометрическая прогрессия, а , тогда .

2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.

Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число  и открытые множества , такие, что .

Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:

.                                                                                                     

Для  положим  и  для .

Для каждой точки . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где , то . Так как  для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество  открыто в тихоновской топологии произведения.

2) Пусть множество  открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .

Требуется доказать, что для любой точки  найдется такое , что .

Так как множество  открыто в топологии произведении, то  для некоторого множества , где  - открыто в  и  для любого  и  для всех индексов  кроме конечного их числа. Поскольку  и  открыто в , то  для конечного числа индексов, для которых . Пусть  - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда  для любого . Это означает, что  для любого . Получили . Следовательно, множество  открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.