2020-01-14
67
Под термином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие 
. Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если 
- конгруэнция на алгебре 
, то 
- класс эквивалентности алгебры по конгруэнции , 
- факторалгебра алгебры по конгруэнции 
. Если и 
- конгруэнции на алгебре 
, 
, то конгруэнцию 
на алгебре 
назовем фактором на . Очевидно, что 
тогда и только тогда, когда 
. 
или 
и 
или 
- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .
Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].
Определение 2.1. Пусть и - конгруэнции на алгебре . Тогда 
централизует (записывается: 
), если на существует такая конгруэнция 
, что:
1) из 
всегда следует 
;
|
|
|
2) для любого элемента всегда выполняется
3) если 
, то 
.
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1. Пусть . Тогда:
существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;
;
если 
, то 
.
Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции 
на алгебре существует такая единственная наибольшая конгруэнция , что 
. Эту конгруэнцию будем называть централизатором конгруэнции в и обозначать 
.
Лемма 2.2. Пусть 
- конгруэнции на алгебре , 
, 
, 
. Тогда справедливы следующие утверждения:
;
, где 
;
если, 
, либо
, либо
, то всегда 
;
из 
всегда следует 
.
Доказательство. 1). Очевидно, что 
- конгруэнция на 
, удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 
.
2). 
- конгруэнция на 
, удовлетворяющая определению 2.1. Значит, 
.
3). Пусть 
. Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор 
такой, что 
, для любых элементов 
. Тогда получим
Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).
4). Пусть 
. Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно, 
, где 
- мальцевский оператор. Тогда 
, т.е. 
. Так как 
и 
, то 
. Таким образом 
. Лемма доказана.
В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).
Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры 
, содержащая конгруэнцию 
, является конгруэнцией на .
Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.
Лемма 2.4. Пусть . Тогда для любой конгруэнции 
на
|
|
|
Доказательство. Обозначим 
и определим на алгебре 
бинарное отношение 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда 
, где 
, 
. Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре 
, причем 
.
Пусть 
, т.е. , 
. Тогда 
и, значит, 
.
Пусть, наконец, имеет место 
и 
. Тогда справедливы следующие соотношения:
Применяя мальцевский оператор к этим трем соотношениям, получаем: 
. Из леммы 2.2 следует, что 
. Так как 
и 
, то 
. Значит, 
. Но 
, следовательно, 
. Итак, 
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5. Пусть 
и 
- конгруэнции на алгебре , 
и 
- изоморфизм, определенный на . Тогда для любого элемента 
отображение 
определяет изоморфизм алгебры на алгебру 
, при котором 
. В частности, 
.
Доказательство. Очевидно, что 
- изоморфизм алгебры 
на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям 
и 
. Так как , то определена конгруэнция 
, удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм 
алгебры 
на алгебру 
такой, что 
для любых элементов 
и 
, принадлежащих 
. Но тогда легко проверить, что 
- конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции 
. Это и означает, что 
. Лемма доказана.
Если 
и 
- факторы на алгебре 
такие, что 
, то конгруэнцию 
обозначим через 
и назовем централизатором фактора 
в 
.
Напомним, что факторы и 
на алгебре называются перспективными, если либо 
и 
, либо 
и 
.
Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций.
Теорема 2.1. Пусть 
- конгруэнции на алгебре 
. Тогда:
если 
, то 
;
если 
, то 
;
;
если , 
и факторы 
, 
перспективны, то
если 
- конгруэнции на 
и 
, то
Доказательство. 1). Так как конгруэнция 
централизует любую конгруэнцию и 
, то 
.
2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что 
, а в силу леммы 2.4 получаем, что 
.
Пусть 
- изоморфизм 
. Обозначим
По лемме 2.5 
, а по определению
Следовательно, 
.
3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций 
и 
на алгебре имеет место равенство:
Покажем вначале, что
Обозначим 
. Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре 
существует такая конгруэнция 
, что выполняются следующие свойства:
а) если 
, то 
;
б) для любого элемента 
, 
;
в) если 
и 
, то 
.
Построим бинарное отношение 
на алгебре 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда 
и 
, 
. Покажем, что 
- конгруэнция на . Пусть 
, 
. Тогда 
и 
, 
. Так как 
- конгруэнция, то для любой 
-арной операции 
имеем:
Очевидно, что (
, 
и 
, 
. Следовательно, 
. Очевидно, что для любой пары 
. Значит, 
. Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, т.е. 
централизует .
Пусть
Тогда 
и 
. Так как , 
и 
, то 
. Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.
Если 
, то 
, значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда 
. Так как 
и 
, то 
, следовательно, 
. Из (2) следует, что 
, а по условию 
. Значит, 
и поэтому 
. Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, т.е. 
централизует . Докажем обратное включение. Пусть 
. Тогда на алгебре определена конгруэнция 
, удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и , . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения 
следует, что 
. Покажем поэтому, что 
централизует . Так как 
, 
и , то , т.е. удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если , то 
, следовательно, 
.
Пусть имеет место (3) и 
. Так как , , то 
и 
. Из (4) следует, что 
, следовательно, 
, т.е. 
. На основании леммы 2.2 заключаем, что 
. Следовательно, 
. Но так как 
, то 
, т.е. 
.
4) Обозначим 
. Пусть 
и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на 
следующим образом 
тогда и только тогда, когда 
. Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что 
. Теорема доказана.
|
|
|
Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
Мультикольцо
Согласно [2] алгебра сигнатуры 
называется мультикольцом,если алгебра 
-группа(не обязательно абелева).Все операции из 
имеют ненулевые арности и для любой 
-арной операции 
и любых элементов 
имеет место 
= 
,для любого 
. Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной 
-группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:
где 
,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу 
.
Докажем,например,первое равенство.
Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу
получаем требуемое равенство.
Определение. Подалгебра 
мультикольца называется идеалом [9],если 
-нормальная подгруппа группы и для любой 
-арной операции 
, произвольного и любых 
, 
имеет место
В частности,если -нульарная или унарная операция,то это означает,что
Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.
Теорема 3.1 [2] Пусть -идеал мультикольца и
Тогда 
-конгуэнция на и любая конгруэнция на имеет такой вид для подходящего идеала .
Доказательство.
Так как
то 
. Покажем,что -подалгебра алгебры 
.Проверим вначале замкнутость относительно групповых операций. Пусть 
, т.е. 
. Тогда в силу того,что 
,получаем
т.е. 
т.е. 
. Пусть теперь -n-арная операция и 
, 
Так как 
-идеал,то получаем
т.е. 
. Теперь из леммы [8] следует,что -конгруэнция на . Обратно,пусть -конгруэнция на . Положим
|
|
|
Из [8] следует,что -нормальная подгруппа группы . Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что -идеал мультикольца . Теорема доказана.
Следствие 3.2. Решетка идеалов мультикольца изоморфна решетке его конгруэнций.
Определение 3.3 [3].Пусть -идеал мультикольца .Тогда централизатором в называется наибольший идеал 
в такой,что для любого 
и любого выполняются следующие условия:
1) 
;
2) для любой -арной операции 
,любых различных 
,произвольных 
справедливо
Теорема 3.4. Пусть 
и 
-идеалы мультикольца и 
. Тогда 
и 
индуцируют на соответственно конгруэнции 
и 
, где
тогда
Доказательство:
Определим бинарное отношение 
на 
следующим образом 
тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы 
и 
,что справедливы равенства
Очевидно,что -отношенме эквивалентности на , удовлетворяющее условиям 1)-3) определения 2.1.,замкнутость которого относительно групповых операций доказана в примере [8]
Пусть теперь - -арная операция и 
Тогда
и 
для любых 
Следовательно,
Подставляя в правую часть последнего равенства значения 
и учитывая,что после раскрытия скобок члены,одновременно содержащие элементы 
и 
,равны нулю 
, получаем в правой части равенства выражение
Так как -идеал,то
Итак,
тогда 
.
Теорема 3.5 Пусть 
и 
-идеалы мультикольца 
, 
, 
-конгруэнции,определенные в теореме 3.4. и .Тогда 
.
Доказательство: Пусть 
-конгруэнции мультикольца и 
. Обозначим смежные классы по 
и 
,являющиеся идеалами мультикольца, соответственно 
и 
. Возьмем произвольные элементы 
, 
, 
. Тогда
Следовательно,для любой 
-арной операции 
, любых различных 
получаем
Из определения 2.1. следует,что
Очевидно,что справедливо и другое аналогичное равенство определения [8] Т.к. из примера [8] следует,что 
,то это означает, что .
Очевидно,что из теорем 3.4. и 3.5. и результатов раздела 2 следуют все известные свойства централизаторов подгрупп,а так же свойства централизаторов идеалов мультиколец работы [3](Лемма 2.8).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал 
тогда и только тогда централизуется идеалом 
, когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Результаты данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурса для студентов математического факультета,а так же аспирантами и научными сотрудниками,занимающимися проблемами современной алгебры.
