Основные определения и используемые результаты

Содержание

Введение

1. Основные определения и используемые результаты

2. Свойство централизаторов универсальных алгебр

3. Мультикольцо

Заключение

Список использованных источников

Введение

 

В теории формаций конечных групп, мультиколец и многих других алгебраических систем исключительно важную роль играют такие понятия, как локальные экраны, локальные формации, основанные на определении центральных рядов. Впервые понятие централизуемости конгруэнций было введено Смитом в работе [5]. Возникает задача согласованности определения централизуемости Смита с определением в группах и мультикольцах.Такая задача была решена в указанной работе Смита [5], где было показано:нормальная подгруппа  группы  централизует подгруппу  тогда и только тогда, когда конгруэнции,индуцированные этими нормальными подгруппами, централизуют друг друга в смысле Смита.

Возникает следующий вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для мультиколец, т.е. будут ли выполнятся свойства централизуемости, изложенные в работе [3], для универсальных алгебр.

В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал  тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

Дипломная работа включает в себя введение, три параграфа и список литературы из 10 наименований.

Перейдем к краткому изложению содержания дипломной работы.

Раздел 1 является вспомогательным и включает в себя все необходимые определения и используемые результаты.

Раздел 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся свойства централизаторов конгруэнций, доказательства которых изложены в работах [5, 6, 7].

Раздел 3 является основным. Здесь вводится определение мультикольца, определение идеала мультикольца, определение централизатора идеала и с использованием данных определений доказывается основной результат работы (теоремы 3.4. и 3.5).

 

Основные определения и используемые результаты

 

Определение 1.1. [1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара , где  - непустое множество,  - (возможно пустое) множество операций на .

Определение 1.2. [1] Конгруэнцией на универсальной алгебре  называется всякое отношение эквивалентности на , являющееся подалгеброй алгебры .

Определение 1.3. [1] Если  и  - алгебры сигнатуры , то отображение  называется гомоморфизмом, если для любой -арной операции  и любых элементов  выполняется равенство:

 

 

Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Теорема 1.1. [1] Пусть  - гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество

 

 

является конгруэнцией на алгебре  и называется ядром гомоморфизма

Теорема 1.2. [1] Пусть  - гомоморфное наложение, тогда .

Теорема 1.3. [1] Пусть  - конгруэнции на алгебре  и , тогда .

Определение 1.4. [2] Непустой абстрактный класс алгебр  сигнатуры  называется многообразием, если  замкнут относительно подалгебр и прямых произведений.

Многообразие  называется мальцевским, если конгруэнции любой алгебры из  попарно перестановочны.

Теорема 1.4. [2] Конгруэнции любой алгебры многообразия  попарно перестановочны тогда и только тогда, когда существует термальная операция , что во всех алгебрах из  справедливы тождества

 

Определение 1.5. [3] Пусть  и  - факторы алгебры . Тогда они называются:

1) перспективными, если либо  и , либо  и ;

2) проективными, если в  найдутся такие факторы , что для любого  факторы  и  перспективны.

Теорема 1.5. [4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры , принадлежащей мальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в  равны.

Теорема 1.6. [2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества  не пуст, то  содержит максимальные элементы.